最大似然估计模型及 Stata 具体操作步骤

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种在统计学中广泛应用的参数估计方法。它的基本思想是在给定的观测数据下，寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值。

数据博士

1755人浏览 · 2024-07-22 10:11:40

数据博士 · 2024-07-22 10:11:40 发布

一、引言

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种在统计学中广泛应用的参数估计方法。它的基本思想是在给定的观测数据下，寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值。在 Stata 中，我们可以方便地实现最大似然估计，并对结果进行分析和解释。

二、理论原理

为了找到这个最优参数值，我们可以通过对对数似然函数求导，并令导数为零来求解（在满足一定的正则条件下）。如果函数较为复杂，无法直接通过求导求解，可以使用数值优化算法，如牛顿法、拟牛顿法等。

三、准备数据

我们使用一份数据集“wage.dta”，该数据集包含了员工的工资、工作经验等信息。

use "wage.dta", clear

四、定义似然函数

假设我们要估计工资（wage）与工作经验（exper）之间的线性关系，即假设工资服从正态分布。

program define my_likelihood
    version 13
    args lnf beta0 beta1 sigma
    quietly {
        tempvar mu
        gen double `mu' = `beta0' + `beta1' * exper
        tempvar z
        gen double `z' = ( ( wage - `mu' ) ^ 2 ) / ( 2 * `sigma' ^ 2 )
        replace `lnf' = - log(`sigma') - 0.5 * log(2 * _pi) - 0.5 * `z'
    }
end

五、进行最大似然估计

ml model lf my_likelihood (beta0) (beta1) (sigma)
ml maximize

六、代码解释

在定义的似然函数中，首先计算了预测的工资值 mu，它是基于输入的参数 beta0 和 beta1 以及观测值 exper 得到的。
然后计算每个观测值的实际工资与预测工资的偏差的平方，并根据正态分布的概率密度函数公式计算对数似然值。
ml model lf 语句指定使用自定义的似然函数进行建模，并明确了要估计的参数 beta0、beta1 和 sigma。
ml maximize 语句用于调用 Stata 的优化算法来寻找使得似然函数最大的参数值。

七、代码运行结果

运行上述代码后，Stata 会输出最大似然估计的结果，包括估计的参数值、标准误差、t 值等。

例如，可能得到的输出如下：

Iteration 0:   log likelihood = -2871.871  
Iteration 1:   log likelihood = -2838.2781  
Iteration 2:   log likelihood = -2837.6243  
Iteration 3:   log likelihood = -2837.6242  

Maximum likelihood estimates
------------------------------------------------------------------------------
             |       Obs        Mean    Std. Err.       [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------
      beta0 |   .    5.238215.5238215    4.200578    6.275852
      beta1 |   .    0.815387.0815387    0.652306    0.978468
      sigma |   .    2.158743.2158743    1.726994    2.590492
------------------------------------------------------------------------------

从输出结果中，我们可以得到参数、和的估计值以及相关的统计信息。例如，beta0 的估计值为 5.238215，标准误差为 0.5238215。t 值可以通过估计值除以标准误差计算得到，用于检验参数的显著性。

八、模型评估与诊断

1. 残差分析

残差是观测值与模型预测值之间的差异。通过对残差的分析，我们可以评估模型的拟合效果和是否满足模型的假设。

绘制残差图：将残差与预测值、自变量或其他相关变量进行绘图。如果残差随机分布在零附近，没有明显的趋势或模式，通常表明模型拟合较好。例如，如果残差随预测值增大而增大或减小，可能意味着存在异方差问题。
正态性检验：对残差进行正态性检验，如 Shapiro-Wilk 检验或绘制残差的直方图和正态概率图（Q-Q 图）。如果残差近似服从正态分布，符合模型假设；否则，可能需要考虑对数据进行变换或使用其他更适合的模型。
独立性检验：通过 Durbin-Watson 检验等方法检查残差是否相互独立。如果残差存在自相关，可能需要在模型中加入适当的滞后项或使用其他模型形式。

2. 拟合优度检验

拟合优度检验用于评估模型对数据的整体拟合程度。

似然比检验（Likelihood Ratio Test）：比较当前模型与一个更简单的嵌套模型的似然值。如果两个模型的似然值差异显著，说明当前模型相对于简单模型有显著改进。
信息准则：如 Akaike Information Criterion (AIC) 和 Bayesian Information Criterion (BIC)。这些准则在考虑模型拟合度的同时，也对模型的复杂度进行惩罚。较小的 AIC 或 BIC 值通常表示模型更优。

一文了解最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation) (qq.com)https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1MjQ2OTQ3Ng==&mid=2247604343&idx=1&sn=8659045f8c4279710a205da9303af5e8&chksm=e9e051fcde97d8ea1dc8cc716325c4e7c8ce7da52af653e8462039f51caa7ad7703805d18626#rd