前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的对称性习题；

常见结论

• 注意：此时只涉及一个函数，是函数自身具有的对称性，而不是两个函数之间的对称；

1、若函数$y=f(x)$关于原点$(0，0)$对称，则$f(-x)=-f(x)$或$f(x)+f(-x)=0$，反之亦成立；

2、若函数$y=f(x)$关于直线$x=a$对称，则$f(a+x)=f(a-x)$，反之亦成立；

3、若函数$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$，则其图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称，反之亦成立；

4、若函数$y=f(x)$图像是关于点$A(a，b)$对称，则充要条件是$f(x)+f(2a-x)=2b$。

给出方式

• 1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。

• 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；

比如奇函数，$f(-x)=-f(x)$或者$f(-x)+f(x)=0⟹$ 对称中心为$(0，0)$

比如偶函数，$f(-x)=f(x)$或者$f(-x)-f(x)=0⟹$ 对称轴为$x=0$

• 3、以奇偶性的拓展形式给出；

比如$f(2+x)+f(-x)=2$，则对称中心为$(1，1)$；

比如$f(x)=f(4-x)$，则对称轴为$x=2$，原因解释

• 4、以周期性+奇偶性的形式给出；

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，

则由$\begin{array}{c}f(x+4)=-f(x)\\ f(-x)=-f(x)\end{array}$ $\}⟹f(x+4)=f(-x)⟹$对称轴是$x=2$

对称性应用

【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-$ $f(x)$，若函数$y=\frac{x+1}{x}$与函数$y=f(x)$图像的交点为$(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则$\sum _{i=1}^m(x_i+y_i)$的值为【 \qquad 】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由题目可知$f(x)+f(-x)=2$，即函数$f(x)$图像关于点$(0，1)$对称，

而函数$y=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$图像也关于点$(0，1)$对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有$\sum _{i=1}^m{x}_i=0$，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是$\frac{m}{2}$个，他们中的每一对满足$\frac{y_1+y_m}{2}=1$，

即$y_1+y_m=2$，故$\sum _{i=1}^m{y}_i=2\cdot \frac{m}{2}=m$，

故$\sum _{i=1}^m(x_i+y_i)=\sum _{i=1}^m{x}_i+\sum _{i=1}^m{y}_i=m$，故选 $B$ .

【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(x)=$ $f(2-x)$，若函数$y=|x^2-2x-3|$与函数$y=f(x)$图像的交点为$(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则$\sum _{i=1}^m{x}_i$的值为 【 \qquad 】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函数$f(x)(x\in R)$满足$f(x)=f(2-x)$，则函数的对称轴是直线$x=1$，

而函数$y=|x^2-2x-3|=|(x-1{)}^2-4|$的对称轴也是直线$x=1$，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数$m$一定是偶数个，两两配对的个数为$\frac{m}{2}$，比如$A$ $B$配对，

则有$\frac{x_1+x_m}{2}=1$，$x_1+x_m=2$，故$\sum _{i=1}^m{x}_i=\frac{m}{2}\cdot 2=m$，故选$B$。

对称性判断

【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数$f(x)=lnx+ln(2-x)$，则【 \qquad 】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数$f(x)$是复合函数，定义域要使$x>0，2-x>0$，即定义域是$(0，2)$，

又$f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1{)}^2+1]$，则由复合函数的单调性法则可知，

在$(0，1)$上单增，在$(1，2)$上单减，故排除$A$，$B$；

若函数$y=f(x)$关于点$(1，0)$对称，则函数$f(x)$必然满足关系：$f(x)+f(2-x)=0$；

若函数$y=f(x)$关于直线$x=1$对称，则函数$f(x)$必然满足关系：$f(x)=f(2-x)$；

接下来我们用上述的结论来验证，由于$f(x)=lnx+ln(2-x)$，

$f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx$，即满足$f(x)=f(2-x)$，故函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，选$C$；

再来验证$D$，发现$f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\ne 0$，$D$选项不满足。故选$C$。

【2019会宁模拟】已知函数$f(x)$的定义域为$R$，且在$[0,+\infty )$上单调递增，$g(x)=-f(|x|)$，若$g(lgx)>g(1)$，则$x$的取值范围为【 \qquad 】

$A.(0,10)$ $B.(10,+\infty )$ $C.(\frac{1}{10},10)$ $D.(0,\frac{1}{10})\cup (10,+\infty )$

分析：由于函数$f(x)$的定义域为$R$，且在$[0,+\infty )$上单调递增，

故函数$g(x)=-f(|x|)$在$[0,+\infty )$上单调递减，且为偶函数，

故$g(lgx)>g(1)$即可以变形为$g(|lgx|)>g(1)$，则由单调性可知，

$|lgx|<1$，即$-1<lgx<1$，解得$\frac{1}{10}<x<10$，故选$C$。

【2019届高三理科数学三轮模拟题】已知函数$f(x)=e^x+e^{2-x}$，则$f(x)$ 【 \qquad 】

$A.$在$R$上递增

$B.$在$R$上递减

$C.$关于点$(1，2e)$对称

$D.$关于直线$x=1$对称

提示：由于函数满足$f(x)=f(2-x)$，故函数$f(x)$关于直线$x=1$对称，选$D$。

引申：$f(x)=e^x+e^{1-x}$；$g(x)=e^x+e^{-x}$；

【2018高三文科训练题】已知函数$f(x)=lg(4x-x^2)$，则【 \qquad 】

$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增

$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称

分析：令内函数$g(x)=4x-x^2>0$，得到定义域$(0，4)$，又$g(x)=-(x-2{)}^2+4$，故内函数在$(0，2]$单减，在$[2，4)$单增，外函数只有单调递增，故复合函数$f(x)$在$(0，2]$单减，在$[2，4)$单增，故排除$A$、$B$；

要验证$C$选项，只需要验证$f(x)=f(4-x)$即可，这是$y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称的充要条件；

而$f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x{)}^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)$，故选$C$。

若要验证$D$选项，只需要利用$y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称的充要条件，即验证$f(x)+f(4-x)=0$即可。自行验证，不满足。

故本题目选$C$.

已知函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称， 则函数 $f(x)$ 的值域为 【 \qquad 】

$A.(0,2)$ $B.[0,+\infty )$ $C.(-\infty ,2]$ $D.(-\infty ,0]$

解: 根据题意， 对于函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$，

有 $f(a-x)=\ln (a-x)+\ln [a-(a-x)]=\ln x+\ln (a-x)=f(x)$，即$f(a-x)=f(x)$，

则函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a}{2}$ 对称，

若函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，则有 $\frac{a}{2}=1$， 则 $a=2$，

则 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)=\ln \left(2x-x^2\right)$，其定义域为 $(0,2)$，

设 $t=2x-x^2$， 则 $y=\ln t$，

又由 $t=-(x-1{)}^2+1$，$0<x<2$， 则有 $0<t⩽1$， 则 $y=\ln t⩽0$，

即函数 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty ,0]$， 故选: $D$ .