一. 基本内容与重要理论

1. 基本内容

方程组的初等变换

 

主变量与自由变量的定义

 

基础解系

基础解系不唯一。

 

2. 主要定理

2.1. 齐次方程组

齐次方程组

有解：

注意：n是未知数的个数

 

齐次基础解系

解向量由自由向量构成。

 

2.2. 非齐次方程组

解的情况讨论

 

2.3. 解的性质（非齐次与齐次解的关系）

 

2.4. 通解结构

基础解系+已知解。

 

二. 典型例题

1. 齐次方程的解

题型一：常规题型

1. 化为最简式。
   因为是阶梯形状的，所以一定能化为最简式，（主元所在列，除主元外都为0）。
   
2. 求基础解析
   
   得到行最简矩阵之后，基础解系怎么求：
3. 求通解：
   
   2.将自由变量x3或x5中的一个取值为1，其余取值为0，代入得到特解向量。
   
   这样就得到了方程组的基础解系。

 

利用行最简+

 

题型二：含有未知数的齐次方程组

矩阵化简技巧

行最简，a=不同值时，解的讨论。
得秩，得到自由变量，几个自由变量基础解系中就含有几个向量（n - R(A)）
得同解方程组，得解。

 

题型三：基础解系证明题

1.
2. 利用a1,a2,a3的线性相关性，证明相关性
3. 由12（由解+线性无关数=>基础解系数量的范围）+非零秩>=1。

 

2. 非齐次方程组的解的结构

题型一：求非齐次的通解

求解容易出错？：注意书写工整，别跳步

1. 行变换：

2. 得同解方程组，特解自由变量都为0，齐次通解依次为0,1.

3. 将x1=-x2带入通解，消除一个k。

基础解系求的不对？ 注意是求导出组的通解。

1. 先求导出组的通解，再求特解（自由变量都=0），相加。

 

题型二：由未知数讨论解

要化成最后一行只有两个未知数

1. 行变换，
2. 讨论未知数：系数矩阵与增广矩阵之间秩的关系。
3. 求解：特解+系数矩阵的自由解。

 

两个未知数的讨论。

 

 

题型三：由已知特解求全部解

1. 带入特解，消除掉一个未知参数。再进行行阶梯变换。讨论不同值下的秩关系，再求解。
2. 条件带入通解。

 

题型四：用解的性质处理抽象方程组

1. 由秩知道，解析结构：n-r(A)=1,a+kβ
2. 求导出组通解，利用定义Ax=b
3. 组成原式通解

 

题型五：通过矩阵运算构造出方程组再求解

求逆不好解时，利用线性方程组解

构造方程组+求解

 

化阶梯型矩阵时别跳步

 

3. 有解判定、解的结构、性质

带入判断秩的关系。

 

B、C推不出，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩
只有方阵才能计算行列式，A不一定是方阵，也可能不存在。
D根据定义：相减，相减矩阵不为零，得基础解系不为零

 

A

增广矩阵的秩始终<=行向量。

 

A. 对于齐次线性方程组，系数矩阵的秩等于未知数的个数时，只有零解
D. 有可能无解：常数=0的矛盾情况。

 

4. 两个方程的公共解、同解

题型一：公共解

两个方程联合求：4行4列。求出基础解系

含有变量的公共解

 

联合求：4行3列，导出组。

 

1. 建立联合方程组，
2. 设极大无关向量组，然后联合起来，易得可以线性表出联合矩阵的行向量，进而得秩的关系。

 

题型二：同解（25下一次）

1. 因为通解，所以R(A) < 3，行列式=0，得a
2. 求A基础解系，带入B，消一个未知数，
3. 讨论剩余的未知数，观察系数矩阵

 

1. 利用同解定义着手，左右假设
2. 技巧：利用0，乘a的转置，得Aa=0

相关转置的结论：

 

5. 方程组的应用

题型一：可交换转为线性方程组

1. 由可交换得方程组，解方程组通解，带入对应元素的矩阵。

 

题型二：由等式得方程组（25：again）

再做一遍

由等式得出，对应位置参数的方程 + 然后解方程。

 

25 对，行阶梯不用化最简

1. 先求行列式（减参数，减低难度）：可以行、列变换（求线性表出不能列变换），通过行列式判断秩，也就是解。