一、无穷小和无穷大的定义

定义 1： 若
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0,$$
则称 $f(x)$ 是 $x_0$ 时的无穷小量，简称无穷小（无穷小不是一个数）。如 $\frac{1}{x}$ 是 $x\to \infty$ 时的无穷小，$\frac{2}{n}$ 是 $n\to \infty$ 时的无穷小。

定义 2： 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，若对任意的正数 $M$（无论 $M$ 是怎样的大），总是存在 $\sigma >0$，当 $0<\left|x-x_0\right|<\sigma$ 时，有 $\left|f(x)\right|>M$，则称 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷大量，简称无穷大。记作
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty .$$

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二、无穷小和无穷大的关系

若 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时无穷大量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
若 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时无穷小量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

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三、无穷小与函数极限的关系

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x),$$
其中 $A$ 是常数；$\alpha (x)$ 是 $x\to x_0$ 时无穷小量。

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四、无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和仍是无穷小，有限个无穷小的积仍是无穷小。
2. 有界函数乘以无穷小仍为无穷小，常数乘以无穷小仍是无穷小。
   如
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\sin x=0.$$

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五、无穷小的比较

定义 3： 设 $f(x)$、$g(x)$ 均为 $x\to x_0$ 时的去穷小，则：

1. 若
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0,$$
   则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小，记作：$f(x)=o\left(g(x)\right),(x\to x_0)$；
2. 若
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\infty ,$$
   则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小。
3. 若
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c,(c\ne 0)$$
   其中，$c$ 为常数，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是同阶无穷小。
   特殊地，当 $c=1$ 时，称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 等价无穷小。记作：$f(x)\sim g(x),(x\to x_0)$。
4. 若
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{{\left[g(x)\right]}^k}=c,(c\ne 0,k>0)$$
   其中，$c$ 为常数，则称 $f(x)$ 是关于 $g(x)$ 的 $k$ 阶无穷小。

定理 1：

1. $$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)\iff f(x)=g(x)+o(g(x))(x\to x_0).$$
   如：$\sin x\sim x(x\to 0)$，则 $\sin x=x+o(x)(x\to 0)$。
2. $f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$ 且 $g(x)\sim h(x)(x\to x_0)$，则 $f(x)\sim h(x)(x\to x_0)$。

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六、常见的八个等价无穷小

等价无穷小
$\sin x\sim x(x\to 0)$
$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2(x\to 0)$
$\tan x\sim x(x\to 0)$
$\arcsin x\sim x(x\to 0)$
$\arctan x\sim x(x\to 0)$
$\ln (1+x)\sim x(x\to 0)$
$e^x-1\sim x(x\to 0)$
$(1+x{)}^u-1\sim ux(x\to 0)$
$a^x-1\sim x\ln a(x\to 0)$

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七、利用等价无穷小求极限

定理 2： 若 $\alpha (x)\sim {\alpha }^{\prime }(x)(x\to x_0)$，$\beta (x)\sim {\beta }^{\prime }(x)(x\to x_0)$，且
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x){\alpha }^{\prime }(x)}{g(x){\beta }^{\prime }(x)}$$
存在，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)\alpha (x)}{g(x)\beta (x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x){\alpha }^{\prime }(x)}{g(x){\beta }^{\prime }(x)}.$$
注意：定理 2 中的替换必须是因子函数才能使用。

推论： 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\infty$，则
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }{\left[1+f(x)\right]}^{g(x)}& =\underset{x\to x_0}{\lim }{e}^{g(x)\ln \left[1+f(x)\right]}\\ & =e^{{\lim }_{x\to x_0}g(x)\ln \left[1+f(x)\right]}\\ & =e^{{\lim }_{x\to x_0}\left[g(x)f(x)\right]}\end{array}$$

即
$$\underset{x\to x_0}{\lim }{\left[1+f(x)\right]}^{g(x)}=e^{{\lim }_{x\to x_0}\left[g(x)f(x)\right]}$$

（该结论适用于求 $1^{\infty }$ 类型的极限）

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参考

1. 高等数学 第六版 上册. 统计大学数学系. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-020549-7
2. 课堂笔记

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