从 麦克斯韦方程组 到 波动方程 再到 二维波动方程
flyfish 从麦克斯韦方程组，推导出了电场和磁场的波动方程。这两个波动方程描述了电磁场的传播，并且它们的形式与标准的波动方程一致。
从 麦克斯韦方程组 到 波动方程 再到 二维波动方程
flyfish
从麦克斯韦方程组，推导出了电场和磁场的波动方程。这两个波动方程描述了电磁场的传播，并且它们的形式与标准的波动方程一致。波动方程表明电场和磁场都以波的形式传播，传播速度
c
c
c 由以下关系确定：
c
=
1
μ
0
ϵ
0
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}
c=μ0ϵ01这个速度
c
c
c 恰好是光速，这证明了光是一种电磁波。
麦克斯韦方程组在真空中的形式
-
高斯定律（电场） ：
∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} ∇⋅E=ϵ0ρ -
高斯定律（磁场） ：
∇ ⋅ B = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ∇⋅B=0 -
法拉第电磁感应定律 ：
∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∇×E=−∂t∂B -
安培-麦克斯韦方程 ：
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂t∂E
在真空中，电荷密度 ρ \rho ρ 和电流密度 J \mathbf{J} J 都为零，因此方程简化为： -
∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 ∇⋅E=0
-
∇ ⋅ B = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ∇⋅B=0
-
∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∇×E=−∂t∂B
-
∇ × B = μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∇×B=μ0ϵ0∂t∂E
推导电场的波动方程
首先对法拉第电磁感应定律取旋度：
∇
×
(
∇
×
E
)
=
∇
×
(
−
∂
B
∂
t
)
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)
∇×(∇×E)=∇×(−∂t∂B)利用向量分析中的恒等式
∇
×
(
∇
×
E
)
=
∇
(
∇
⋅
E
)
−
∇
2
E
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}
∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E，并结合高斯定律（电场）
∇
⋅
E
=
0
\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
∇⋅E=0，得到：
∇
×
(
∇
×
E
)
=
−
∇
2
E
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2 \mathbf{E}
∇×(∇×E)=−∇2E所以：
−
∇
2
E
=
∇
×
(
−
∂
B
∂
t
)
-\nabla^2 \mathbf{E} = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)
−∇2E=∇×(−∂t∂B)
∇
2
E
=
∂
∂
t
(
∇
×
B
)
\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})
∇2E=∂t∂(∇×B)再利用安培-麦克斯韦方程中的
∇
×
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
∇×B=μ0ϵ0∂t∂E，得到：
∇
2
E
=
∂
∂
t
(
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
)
\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)
∇2E=∂t∂(μ0ϵ0∂t∂E)
∇
2
E
=
μ
0
ϵ
0
∂
2
E
∂
t
2
\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
∇2E=μ0ϵ0∂t2∂2E这就是电场的波动方程：
∇
2
E
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
E
∂
t
2
=
0
\nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0
∇2E−μ0ϵ0∂t2∂2E=0
推导磁场的波动方程
对安培-麦克斯韦方程取旋度：
∇
×
(
∇
×
B
)
=
∇
×
(
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
)
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla \times \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)
∇×(∇×B)=∇×(μ0ϵ0∂t∂E)同样利用向量恒等式
∇
×
(
∇
×
B
)
=
∇
(
∇
⋅
B
)
−
∇
2
B
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}
∇×(∇×B)=∇(∇⋅B)−∇2B 和高斯定律（磁场）
∇
⋅
B
=
0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
∇⋅B=0，得到：
∇
×
(
∇
×
B
)
=
−
∇
2
B
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = -\nabla^2 \mathbf{B}
∇×(∇×B)=−∇2B所以：
−
∇
2
B
=
∇
×
(
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
)
-\nabla^2 \mathbf{B} = \nabla \times \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)
−∇2B=∇×(μ0ϵ0∂t∂E)
∇
2
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
∂
t
(
∇
×
E
)
\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{E})
∇2B=μ0ϵ0∂t∂(∇×E)再利用法拉第电磁感应定律
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
∇×E=−∂t∂B，得到：
∇
2
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
∂
t
(
−
∂
B
∂
t
)
\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)
∇2B=μ0ϵ0∂t∂(−∂t∂B)
∇
2
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
2
B
∂
t
2
\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}
∇2B=μ0ϵ0∂t2∂2B这就是磁场的波动方程：
∇
2
B
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
B
∂
t
2
=
0
\nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0
∇2B−μ0ϵ0∂t2∂2B=0
从标准波动方程到二维波动方程
从标准波动方程推导出二维波动方程。先从三维标准波动方程出发，逐步简化到二维波动方程。
标准波动方程在三维空间中的一般形式为：
1
v
2
∂
2
ψ
∂
t
2
=
∇
2
ψ
\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \nabla^2 \psi
v21∂t2∂2ψ=∇2ψ
其中：
-
ψ ( x , y , z , t ) \psi(x, y, z, t) ψ(x,y,z,t) 是描述波动的函数。
-
v v v 是波速。
-
∇ 2 ψ \nabla^2 \psi ∇2ψ 是拉普拉斯算子，定义为：
∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ+∂z2∂2ψ
推导二维波动方程
为了得到二维波动方程，需要假设波动在
z
z
z 方向上没有变化。这意味着：
∂
ψ
∂
z
=
0
\frac{\partial \psi}{\partial z} = 0
∂z∂ψ=0
从而：
∂
2
ψ
∂
z
2
=
0
\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0
∂z2∂2ψ=0因此，拉普拉斯算子简化为：
∇
2
ψ
=
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
\nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}
∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ将这个简化的拉普拉斯算子代入标准波动方程中，得到：
1
v
2
∂
2
ψ
∂
t
2
=
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}
v21∂t2∂2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ通常会把
ψ
\psi
ψ 改写为
u
u
u 以表示二维波动函数，且将波速
v
v
v 改写为
c
c
c ，于是方程变为：
1
c
2
∂
2
u
∂
t
2
=
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
c21∂t2∂2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u为了使方程更加简洁，将
c
2
c^2
c2 移到右边：
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
(
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
)
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)
∂t2∂2u=c2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)
这就是二维波动方程。
把步骤简化就是
-
从标准波动方程出发：
1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∇ 2 ψ \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \nabla^2 \psi v21∂t2∂2ψ=∇2ψ -
将拉普拉斯算子展开为三维形式：
∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ+∂z2∂2ψ -
假设波动在 z z z 方向上没有变化，即 ∂ ψ ∂ z = 0 \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0 ∂z∂ψ=0 ，于是 ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 0 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0 ∂z2∂2ψ=0 。
-
简化拉普拉斯算子：
∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ -
将简化后的拉普拉斯算子代入标准波动方程：
1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} v21∂t2∂2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ -
改写为二维波动函数 u u u 和波速 c c c ，得到：
1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} c21∂t2∂2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u -
最终整理得到二维波动方程：
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) ∂t2∂2u=c2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)
这样就从标准波动方程推导出了二维波动方程。
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