1. 前言

• 关键路径是什么？
  整个活动网影响整体耗时的路径。如果活动网没有任意一个分叉，所有节点连起来也为一条关键路径。

• 找关键路径用于解决什么问题？
  项目推进中，如果要压缩工期，找到关键路径，并减小关键活动的耗时才能减少整体耗时，否则会做无用功。如图示:

  • 红色的边 = 关键活动。
  • 红色边 + 经过的节点 = 关键路径。
    

• 存在关键路径的前提
  带正权的有向无环图，在业务中与数据结构的名词映射：
  状态 —— 图的顶点
  活动 —— 图的边

• 看本文需要具备的基础
  拓扑排序、逆拓扑排序

• 参考
  王道教程，例子来源于王道

2. 算法的名词解释

最早发生时间 ve 和 最迟发生时间 vl 都是描述的活动的开始时间。
我们讨论 活动 的 e 和 v 都是在描述这个活动在整个项目中两个属性，并且属性的值与边上的权相关其中：

• ve 都依赖于之前发生的状态，即当前讨论的v2活动 作为箭头的终点，往前找活动
  项目起点 活动v1 无前面的状态，也就无权，则ve(活动v1) = 0
• vl 都依赖于之后发生的状态，即当前讨论的v2活动 作为箭头的起点，往后找活动
  项目终点 活动v6 无后面的状态，也就无权，但初始值来自于veve(活动v6) = vl(活动v6)

记忆点：先算完整个项目中状态的最早发生时间，才能算最迟发生时间。按拓扑排序依次计算状态的最早发生时间，按逆拓扑排序计算活动的最迟发生时间

2.1 状态最早发生时间 ve

明确一点，计算项目从开始节点往后推的时间。
引用王道的一个例子，厨师有两个帮手，帮手A负责洗番茄和切番茄，一共耗时4min。
ve(v1) = 0;
则 ve(v2) = ve(v1) + a2 = 1;

2.1.1 处在交叉处状态的 ve

帮手B打鸡蛋，一共耗时2min，要等待所有食材都处理完毕才“可以炒了”。所以 活动“可以炒了”的最早发生时间为4。

2.1.2 本例的所有ve

ve(v1) = 0;
ve(v3) = 0 + a2 = 2;
ve(v2) = 0 + a1 = 3;
ve(v4) = max { [ve(v2)  + 连接v2的权] , [ve(v3) + 连接v3的权] } = 6; // 下文将讨论这个的计算依据
ve(v5) = ve(v4) + a4 = 6;
ve(v6) = max { [ve(v5)  + 连接v5的权] , [ve(v4) + 连接v4的权] , [ve(v3) + 连接v3的权]} = 8;

2.1.3 求完ve，记得填入vl末项

2.2 求状态最迟发生时间 vl

参照2.1，推广得，最迟发生时间就是按逆拓扑序列进行计算。计算vl的前提是所有ve都被求出

2.2.1 处在交叉处状态的 vl

• 计算最迟发生时间，取最小差值。为什么？
  

根据上文求的值，已知最早4min的时候 “可以炒了” 必须发生，且已知在最早1min的时候 “可以切了” 必须发生。

• v1 -> v3 (一)
  中间只需要完成耗时2min打鸡蛋，则对于v3而言，v1在4min - 2min = 2min 时打鸡蛋就可以让V3按时发生
• v1 -> v2 (二)
  中间只需要完成耗时1min洗番茄，则对于v2而言，v1在1min - 1min = 0min 时洗番茄就可以让V2按时发生
• v2、v3都需要按时发生
  取 (一) 和 (二) 的最小值，就能保证V2和V3都按时发生，这个值就是v1的最迟发生时间

上例V1的最迟发生时间为0
翻译过来就是，要同时保证V2和V3不延期，V1必须立刻马上开始

2.2.2 本例的所有vl

3. 求所有活动的 最早发生时间 e 和最迟发生时间 l

数据结构映射：
状态 —— 图的顶点
活动 —— 图的边
v1状态 ---> 活动a1 ---> v2状态

• v1状态 ---> 活动a1
  v1状态在活动a1的驱动下开始变化，也就是v1发生a1必然发生
  一个活动必然在两个状态之间，则 v1的最早发生时间 即为活动a1的最早发生时间

• 活动a1 ---> v2状态
  保证v2状态按时完成，则v2最迟发生时间 - a1耗时即是活动a1的最迟发生时间

• 综上
  活动的最早发生，跟箭头开始的最早发生时间有关
  活动的最迟发生，跟箭头终点的最迟发生时间有关

4. 找关键路径

时间余量：vl - ve == 0 的活动为关键活动，关键活动跟状态连起来就为关键路径。
v1 -a2-v3-a5-v4-a7-v6

5. 后记