问题引出：

贝叶斯决策
首先来看贝叶斯分类，我们都知道经典的贝叶斯公式：
$$\begin{array}{c}P(w|x)=\frac{p(x|w)p(w)}{p(x)}\end{array}$$

其中：$p(w)$：为先验概率，表示每种类别分布的概率；$p(x|w)$：类条件概率，表示在某种类别前提下，某事发生的概率；而为后验概率，表示某事发生了，并且它属于某一类别的概率，有了这个后验概率，我们就可以对样本进行分类。后验概率越大，说明某事物属于这个类别的可能性越大，我们越有理由把它归到这个类别下。

详细的讲解可以看一下我的另外一篇blog概率图模型（3）朴素贝叶斯分类

但是在实际问题中并不都是这样幸运的，我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据，而先验概率$p\left(w_i\right)$和类条件概率$p\left(x|w_i\right)$(各类的总体分布)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计，然后再套用贝叶斯分类器。

先验概率$p\left(w_i\right)$的估计较简单，有如下几种方法
1、每个样本所属的自然状态都是已知的（有监督学习）
2、依靠经验
3、用训练样本中各类出现的频率估计

类条件概率$p\left(x|w_i\right)$的估计（非常难），原因包括：概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息；样本数据可能不多；特征向量$x$的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。解决的办法就是，把估计完全未知的概率密度$p\left(x|w_i\right)$转化为估计参数。==这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，极大似然估计就是一种参数估计方法。==当然了，概率密度函数的选取很重要，模型正确，在样本区域无穷时，我们会得到较准确的估计值，如果模型都错了，那估计半天的参数，肯定也没啥意义了。

重要前提：

上面说到，参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法（由于直接估计类条件概率密度函数很困难）。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。
重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)，且有充分的训练样本。

极大似然估计

极大似然估计的原理，用一张图片来说明，如下图所示：

总结起来，最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
由于样本集中的样本都是独立同分布，可以只考虑一类样本集$D$，来估计参数向量$\theta$。记已知的样本集为：
D = { x 1 , x 2 , ⋯   , x N } D=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right\} D={x1​,x2​,⋯,xN​}
似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数$p(D|\theta )$称为相对于 { x 1 , x 2 , ⋯   , x N } \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right\} {x1​,x2​,⋯,xN​}的$\theta $的似然函数。
$$l(\theta )=p(D|\theta )=p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_N|\theta \right)=\prod _{i=1}^{N}p\left(x_i|\theta \right)$$
公式解析：在不同$\theta$下似然函数的值为在这种样本分布情况下由此时的$\theta$通过联合概率分布得出，联合概率分布又因为样本之间独立，转换成乘法模型。

如果$\hat{\theta }$是参数空间中能使似然函数$l(\theta )$最大的$\theta$值，则应该是“最可能”的参数值，那么就是$\theta$的极大似然估计量。它是样本集的函数，在不同的样本集$D$中，有不同的参数估计，记作：
$$\hat{\theta }=d\left(x_1,x_2,\cdots ,x_N\right)=d(D)$$
$\hat{\theta }\left(x_1,x_2,\cdots ,x_N\right)$即为极大似然函数估计值。

求解极大似然函数

ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的$\theta$值。
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }l(\theta )=\arg \underset{\theta }{\max }\prod _{i=1}^{N}p\left(x_i|\theta \right)$$
实际中为了便于分析，定义了对数似然函数：
$$\begin{array}{c}H(\theta )=\ln l(\theta )\\ \hat{\theta }=\arg {\max }_{\theta }H(\theta )=\arg {\max }_{\theta }\ln l(\theta )=\arg {\max }_{\theta }{\sum }_{i=1}^N\ln p\left(x_i|\theta \right)\end{array}$$
1、当未知参数只有一个（$\theta$为标量）
在似然函数满足连续、可微的正则条件下，极大似然估计量是下面微分方程的解：
$$\frac{dl(\theta )}{d\theta }=0或者等价于\frac{dH(\theta )}{d\theta }=\frac{d\ln l(\theta )}{d\theta }=0$$

2、未知参数有多个（$\theta$为向量）
则$\theta$可表示为具有$S$个分量的未知向量：
$$\theta ={\left[{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_S\right]}^T$$
记梯度算子：
$${\nabla }_{\theta }={\left[\frac{\partial }{\partial {\theta }_1},\frac{\partial }{\partial {\theta }_2},\cdots ,\frac{\partial }{\partial {\theta }_s}\right]}^T$$
若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解。
$${\nabla }_{\theta }H(\theta )={\nabla }_{\theta }\ln l(\theta )=\sum _{i=1}^N{\nabla }_{\theta }\ln P\left(x_i|\theta \right)=0$$
方程的解只是一个估计值，只有在样本数趋于无限多的时候，它才会接近于真实值。

极大似然估计的例子

例1：设样本服从正态分布$N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，则似然函数为：
$$L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)=\prod _{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x_i-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}={\left(2\pi {\sigma }^2\right)}^{-\frac{n}{2}}{e}^{\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{k=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}$$
它的对数：
$$\ln L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)=-\frac{n}{2}\ln (2\pi )-\frac{n}{2}\ln \left({\sigma }^2\right)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2$$
求导，得方程组：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \ln L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\mu \right)=0\\ \frac{\partial \ln L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2=0\end{array}$$
联合解得：
$$\{\begin{array}{l}{\mu }^{\ast }=\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ {\sigma }^{\ast 2}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2\end{array}$$
似然方程有唯一解$\left({\mu }^{\ast },{\sigma }^{\ast 2}\right)$：而且它一定是最大值点，这是因为当$|\mu |\to \infty$或${\sigma }^2\to \infty 或者0$时，非负函数$L(\mu ,{\sigma }^2)\to \infty$。于是$\mu$和${\sigma }^2$的极大似然估计为$\left({\mu }^{\ast },{\sigma }^{\ast 2}\right)$。

例2：设样本服从均匀分布[a, b]。则$X$的概率密度函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},a\le x_i\le b,i=1,2,\dots ,n\\ 0,其他\end{array}$$
对样本 D = { x 1 , x 2 , … , x n } D=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} D={x1​,x2​,…,xn​}：
$$L(a,b)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{(b-a{)}^n},a\le x_i\le b,i=1,2,\dots ,n\\ 0,其他\end{array}$$
很显然，$L(a,b)$作为$a$和$b$的二元函数是不连续的，这时不能用导数来求解。而必须从极大似然估计的定义出发，求$L(a,b)$的最大值，为使$L(a,b)$达到最大，$b-a$应该尽可能地小，但$b$又不能小于 max ⁡ { x 1 , x 2 , … , x n } \max{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}} max{x1​,x2​,…,xn​}，否则，$L(a,b)=0$。类似地$a$不能大过 min ⁡ { x 1 , x 2 , … , x n } \min{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}} min{x1​,x2​,…,xn​}，因此，$a$和$b$的极大似然估计：
a ∗ = min ⁡ { x 1 , x 2 , … , x n } b ∗ = max ⁡ { x 1 , x 2 , … , x n } a^* = \min{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}}\\b^* = \max{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}} a∗=min{x1​,x2​,…,xn​}b∗=max{x1​,x2​,…,xn​}

总结

求最大似然估计量的一般步骤：
（1）写出似然函数；
（2）对似然函数取对数，并整理；
（3）求导数；
（4）解似然方程。
最大似然估计的特点：
1.比其他估计方法更加简单；
2.收敛性：无偏或者渐近无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好；
3.如果假设的类条件概率模型正确，则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差，将导致非常差的估计结果。