主要内容

• 复向量和复矩阵
• 傅里叶矩阵

正文

这一讲主要介绍复数矩阵，其中一个最重要的例子就是傅里叶矩阵，它可以进行傅里叶变换。另外我们还会有快速傅里叶变换。

复向量和复矩阵

首先我们面对的问题是如何求复向量的模长。 我们可以回想一下，如何求一个复数的长度，比如：$z_1=a+bi$，那么$|z_1{|}^2=\overline{z_1}{z}_1$。对于向量，也是同样的方法，只不过还要遵循向量的乘法规律，也就是需要转置一下。那么求模长的公式，就比较显然了，对于复向量$z$：$$|z{|}^2={\bar{z}}^{T}z$$实际上可以简写为：$$|z{|}^2=z^{H}z$$公式上的$H$是埃尔米特$(Hermite)$的简称，意味着取共轭然后转置。那么，类似的就可以得到两个复向量的乘法公式了，比如复向量$x,y$的乘积：$y^{H}x$。

复数下的对称矩阵。 在实矩阵中对于对称矩阵我们有$A^{T}A$，但是在复矩阵中，对称矩阵满足$Z^H=Z$，并且这样的矩阵我们称之为：埃尔米特矩阵。这样的矩阵的特征值都为实数，并且特征向量相互垂直。在实矩阵中我们将由相互垂直的向量组成的矩阵称为正交矩阵$Q$，并且它满足$Q^{T}Q=I$。但是对于复矩阵，它的相互垂直的特征向量组成的矩阵$U$，满足：$U^{H}U=I$。此外，它不叫正交矩阵，它交酉矩阵$(Unitary)$。

傅里叶矩阵

我们先给出一个示例是一个$n\times n$的傅里叶矩阵。傅里叶矩阵有一个特殊的地方那就是它的索引是从$0$开始的，而不是从$1$。如下：$$F_n=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& w& w^2& ...& w^{n-1}\\ 1& w^2& w^4& ...& w^{2(n-1)}\\ :& :& :& :& :\\ 1& w^{n-1}& w^{2(n-1)}& ...& w^{(n-1{)}^2}\end{array}\right]$$我们可以发现，每一项$F_{ij}=w^{ij}i,j=0,1,2...n-1。$其中：$$w=e^{\frac{2\pi }{n}i}$$关于$w$，我们可以计算得到$w^n=1$，$n$是矩阵的阶数。$w$是位于单位圆上的，可以参考欧拉公式，了解更过的复数细节。这是一个一般性的例子，我们可以看一个实际数字的例子，比如当$n=4$的时候：$$F_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& i^2& i^3\\ 1& i^2& i^4& i^6\\ 1& i^3& i^6& i^9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& -1& -i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -i& -1& i\end{array}\right]$$这个矩阵的各列都是正交的，验证的时候注意复向量的正交和实向量的正交是不同的。由于矩阵的各列都是正交的，我们可以把这个矩阵分解成许多个稀疏矩阵。另外由于矩阵的各列都是正交的，我们得到$F_4^H{F}_4=I$，所以我们很快就得到了矩阵的逆为$F_4^H$。

快速傅里叶变换

快速傅里叶变换是通过分解矩阵来减少计算消耗。具体的内容参考其他资料。