算法与数据结构——并查集、种类并查集和带权并查集
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。
并查集
什么是并查集?
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。
并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。
并查集的用途
并查集支持以下两种操作：
合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。
其主要作用包括以下几个方面：
1、判断两个不同元素是否在同一个集合（连通块）中
2、求某元素所在集合（连通块）的元素个数
3、求连通分支数（如果一个图中所有点都存在可达关系（直接或间接相连），则此图的连通分支数为1；如果此图有两大子图各自全部可达，则此图的连通分支数为2……。
如何实现？
并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。如下图所示，代表这个集合的节点叫作根节点（root），集合中其他的元素是根节点的子孙。在同一个集合的元素，都能找到相同的根节点来代表他们自己所在的集合，而只有指向**父节点（parent）**指向自己的才能成为根节点（root）。
并查集初始化
考虑以下情形，假设现有n个元素，编号分别为1，2，3…n（编号代表各元素互不相同）。
初始化时，我们给每个元素分配一个唯一标识parent，并且如果两个元素的根节点相同，则他们属于同一个集合。在该定义下，初始化直接令每个元素的parent等于自身编号即可,如图所示，可以看出此时每个节点都是其所在集合的根节点（即p[x]=x），因此，此时每个元素都单独属于一个集合，。
代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
并查集的查询操作
从刚刚的介绍来看，我们在查询某个元素位于哪个集合时，只需查询到该元素对应的parent标识即可，即找到该元素所在集合的根节点（parent节点）即可。给定元素 x，我们可以使用如下代码来查询该元素所属集合：
查询，非压缩路径法
//查询编号为x的节点属于哪个集合（非压缩路径，每次查询需要从树底部向上查询到根节点）
int find(int x) {
//如果x不是根节点，就沿着x向上找到x的父节点
//递归判断父节点是否为根节点
if (p[x] != x) return find(p[x]);
//是根节点，返回集合编号
else return x;
}
查询，压缩路径法
//只要执行一次查询，路径上的所有节点的parent都会直接变为根节点（即集合号）
int find_compress_path(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find_compress_path(p[x]);
else
return p[x];
}
特殊地，初始化时每个元素各自形成成一个集合，此时查询到所在集合就是他们各自的编号值。但是此时，看代码可能还会存在疑问，为什么要使得p[x]==x时，此时找到的x才是所在集合号数呢？看了下面的合并操作，在会过来看查询代码，我们就能慢慢理解了。
并查集的合并操作
根据上述介绍，可知初始化时，每个节点各自是一个集合，那么集合是如何合并的呢？接下来看以下流程：
1、初始化状态，所有节点各自为营，每个节点有自己的阵营（即每个节点都自成一个集合，每个节点的parent节点就是自己，即p[x]=x）
2、但是随着某种条件的进行，1和3由于某种条件（可能是题目中的题意），导致3号要加入1号的阵营，从而1号和3号此时同属为一个集合，此时3号需要合并到1号的集合中去，该怎么做呢？此时自然是改变原有的p[3]=3，令p[3]=1,使得3号指向1，从此3号的parent指向1号节点。当寻找三号所在的集合时，我们就会一值往上寻找3号所在树的根节点（即p[x]=x的节点）来作为集合的代表。
3、随着某种条件的进行，1和2由于某种条件（可能是题目中的题意），导致2号要加入1号的阵营。此时，改变p[2]=2为p[2]=1,使得2号的父节点变为1号节点，从而2号加入到1号的阵营，从此1、2、3号都有了共同的根节点即1号，因此也就使得1、2、3号同属于一个集合了。
4、随着某种条件的进行，与上述描述的情况相同，4、5、6号节点也由于某种条件的促使，使得他们需要成为同一阵营，此时改变p[6]=6,p[5]=5为p[6]=4,p[5]=4，使得5号和6号的父节点指向4号，从此4、5、6号节点有了共同的根节点即4号，因此4、5、6号属于同一个集合。
5、最后，由于某种条件的进行，发现4号阵营中的某个节点其实与1号的阵营某个节点应该同属于一个集合，然而4号阵营的所有元素又都同属于一个集合，因此，此时就需要将1集合和4集合中所有元素都合并到同一个集合。那此时该如何做呢？我们以4号阵营中5号节点，由于某种条件的促使下，应该与1号阵营的2号节点属于同一个集合为例。此时我们就需要找到代表5号所在集合根节点（root）即4号和代表2号所在集合的根节点（root）即1号，然后将4号根节点的父节点指向1号根节点，即将p[4]=4改变为p[4]=1，从此使得4阵营所有节点加入到1阵营中，此时，1，2，3，4，5，6所有节点都同属于一个集合即1号集合。
并查集合并操作的代码实现如下：
//合并（a,b）所在的集合，【按秩合并更优，但效果不明显】
void merge(int a,int b) {
int aSet = find_compress_path(a);
int bSet = find_compress_path(b);
//如果不是同一个，则属于不同集合，需要合并
if (aSet != bSet)
p[bSet] = aSet;//只需将b集合的根节点设置一个parent指针，并且指向b集合的根节点,就可以将b集合合并的a结合当中
}
注意此处需要借用上文查询操作中已经实现的查询代码，因为，当我们执行合并操作的时候，我们首先需要做的就是找到需要合并的元素所在的集合，即需要找到p[x]=x的节点，再执行合并操作，将父节点的指针重新下指向新集合。
查询操作的压缩路径补充
由于每次查询x操作，都需要递归从x元素开始找，再找到x的父节点，一层一层往上查找，直到查找到所在集合的根节点，才能得出x所在的集合。然而并查集的树高往往就是查询时间复杂度的关键所在，而压缩查询的路径能够降低树高从而大大降低查询的时间复杂度。
如下图所示，当我们执行查询8号节点所在的集合时，一旦执行一次查询操作，压缩路径代码将会使得并查集树从图中左侧形状变为图中右侧形状。虽然改变了路径和形状，但是此时并查集树并不会破坏其原有性质，仍然可以通过某个元素x直接查询到x所在的集合(类似于每个节点都是单独一个一个插入进并查集树的状态)。
并查集应用题
AC代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
//定义：初始化为多个集合
int p[N];
//查询编号为x的节点属于哪个集合（非压缩路径，每次查询需要从树底部向上查询到根节点）
int find(int x) {
//如果x不是根节点，就沿着x向上找到x的父节点
//递归判断父节点是否为根节点
if (p[x] != x) return find(p[x]);
//是根节点，返回集合编号
else return x;
}
//查询，压缩路径法
//只要执行一次查询，路径上的所有节点的parent都会直接变为根节点（即集合号）
int find_compress_path(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find_compress_path(p[x]);
else
return p[x];
}
//合并（a,b）所在的集合，【按秩合并更优，但效果不明显】
void merge(int a,int b) {
int aSet = find_compress_path(a);
int bSet = find_compress_path(b);
//如果不是同一个，则属于不同集合，需要合并
if (aSet != bSet)
p[bSet] = aSet;//只需将b集合的根节点设置一个parent指针，并且指向b集合的根节点,就可以将b集合合并的a结合当中
}
int main() {
int n, m;
ios::sync_with_stdio(NULL);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
//初始化，每个节点都是一个集合，自己就是根节点
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
while (m--) {
char op;
cin >> op;
int a, b;
cin >> a >> b;
if (op == 'M') merge(a, b);
else
{
if (find_compress_path(a) == find_compress_path(b)) cout << "Yes"<< '\n';
else
cout << "No"<< '\n';
}
}
return 0;
}
AC代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int p[N];//集合集
int sz[N];//记录集合（联通块）中的节点个数
int find(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void merge(int a, int b) {
int aSet = find(a);
int bSet = find(b);
if (aSet != bSet) {
p[bSet] = aSet;
//合并之后需要将两个连通块集合的个数相加起来
sz[aSet] += sz[bSet];
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(NULL);
cin.tie(nullptr);
int m, n;
cin >> n >> m;
//初始化联通块集合
for (int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = i;
sz[i] = 1;//记录连通块集合的个数
}
while (m--) {
string op;
int a, b;
cin >> op;
if (op == "C") {
cin >> a >> b;
merge(a, b);
}
else if (op == "Q1") {
cin >> a >> b;
if (find(a) == find(b))
cout << "Yes" << '\n';
else
cout << "No" << '\n';
}
else
{
cin >> a;
cout << sz[find(a)] << endl;
}
}
return 0;
}
种类并查集
种类并查集的概念
种类并查集（Type Union-Find）是并查集的一个变种，它通过扩大原有的并查集空间来维护多种不同的关系。在处理某些问题时，比如需要区分元素之间的“朋友”和“敌人”关系，仅使用普通的并查集是不够的，因为它只能维护元素之间的一种关系。
为了解决这个问题，种类并查集将每个元素的表示扩大到n倍。这样做的目的是为了能够同时维护“朋友”关系和“敌人”关系。具体来说，如果有n个元素，我们会创建一个2n大小的数组，其中前n个位置用来表示元素之间的“朋友”关系，而后n个位置用来表示“敌人”关系。
种类并查集和普通并查集解决问题差异
1、普通并查集，维护的是具有连通性、传递性的关系，例如亲戚的亲戚是亲戚，即a和b是亲戚，则c只要和a、b其中一个是亲戚，则a,b,c都是亲戚，都同属一个集合。
2、但有时候，我们却需要用到种类并查集来维护另一种关系：敌人的敌人是朋友，即a和b是敌人，c和a是敌人，但c却未必并不b有仇从而也为敌人，相反有可能c和b是朋友；同时a和b是朋友，c和a是朋友，但是c却未比能和b成为朋友。
何时使用种类并查集
当我们不能清楚的知道具体哪些元素应该为一类，我们只能只知道哪些元素不能为一类，此时一般并查集就没法处理这种问题了，就需要用到种类并查集。
种类并查集的实现
此处，以敌人的敌人是朋友的关系为例子，对种类并查集的实现进行说明。
1、种类并查集初始化
此处需要维护敌人和朋友两种关系，因此需要初始化两倍大小的并查集。其中令1 ~ n为朋友关系，而n+1 ~ 2n为敌人关系。即对于任意一个i∈[1,n]，他的敌人都是i+n，这个敌人并不是真实存在的，只是假想出来的，为了分类使用。比如我们现在有4个人：
2、合并操作
我们现在知道1和2是敌人关系，所以自然就可以推出的2应该和1的敌人1+n是朋友关系，1应该和2的敌人2+n是朋友关系，图中表示为1和6是朋友关系，2和5是朋友关系，故合并1和6以及合并2和5。
此时我们又知道2和4是敌人关系，故可以得到下图。2和4是敌人关系，则可以推出，4和2的敌人2+n是朋友关系；2和4的敌人4+n是朋友关系。图中表示为2和8是朋友关系，4和6是朋友关系。故合并2和8以及4和6.
此处合并操作与普通并查集合并操作并无不同。
注意：需要注意合并的方向，有时合并的方向会影响题目的结果，最好是一次合并实点到虚点、一次合并虚点到实点。
种类并查集的应用
AcWing 240. 食物链
由于该题是A吃B，B吃C，C吃A的循环，此时需要维护三类关系来维护自身同类，被捕食、被捕食
三类，因此需要开3倍的并查集空间，即3n的种类并查集
AC代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 300010;
int p[N];
//查询
int find(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
//合并集合
void merge(int a, int b) {
int aSet = find(a);
int bSet = find(b);
if(aSet!=bSet)
p[bSet] = aSet;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, k;
cin >> n >> k;
//并查集初始化
for (int i = 1; i <= 3 * n; i++) p[i] = i;
//记录假话的数量
int res=0;
while (k--) {
int op, x, y;
cin >> op >> x >> y;
if (x > n || y > n) {
res++;
continue;
}
//说的话是 x和y是同类
else if (op == 1) {
//如果x和y是捕食关系或被捕时关系，则该句话是假话
if (find(x + n) == find(y) || find(x + 2 * n) == find(y)) {
res++;
continue;
}
// 如果上述情况不成立，那说明是真话，则x和y是同类
merge(x, y); //则x和y是一族
merge(x + n, y + n); //x的猎物和y的猎物是一族
merge(x + 2 * n, y + 2 * n); //x的天敌和y的天敌是一族
}
//说的话是 x吃y
else if(op==2)
{
//如过x和y是同类或x和y是被捕时关系时，则该句话时假话
if (find(x) == find(y) || find(x + 2 * n) == find(y)) {
res++;
continue;
}
// 如果上述情况不成立，那说明是真话，则x和y是捕食关系
merge(x + n, y);//x+n和y是一族
merge(x + 2 * n, y + n);//x + 2 * n和y+n是一族
merge(x, y + 2 * n);//x和y+2*n是一族
}
}
cout << res << '\n';
return 0;
}
种类并查集扩大区间的重点注意之处
上面提到种类并查集中，当需要维护k类关系时，就需要将并查集扩大k倍来维护这些关系，即生成kn个区间。
即
1——k，k+1——2k，…(n-1)k+1——n*k的区间，其中每个区间的固有的关系其实不是真实存在的，只是假想出来的，为了分类使用的，最终关系还是得看形成的并查集后，两个元素的根节点是否相同。
以食物链题目为例，简单来说就是，分成的3个区间，一开始只是为了存放两个元素（x,y）之间的对应关系（因为利用种类并查集的题目，都只能得知两者的对应关系）的，最终需要通过合并操作才能得某个元素是类别A还是类别B还是类别C。举个例子来说，x和y两者是捕食关系，但是我们并不知道x和y具体是A类和B类，还是B类和C类，还是C类和A类之间的关系。因此，我们此处就要用到这层对应关系放到假想出来的3个区间当中，x和y两者是捕食关系，所以指定一个点为中心，以x为中心，则将x放到与自己同类的1——n的区间，y则放到以x为中心的n+1——2*n的区间，然后等待合并。
带权并查集
普通的并查集仅仅记录的是集合的关系，这个关系无非是同属一个集合或者是不在一个集合。
带权并查集不仅记录集合的关系，还记录着集合内元素的关系或者说是集合内元素连接线的权值。
带权并查集的实现
带权并查集的实现，需要在普通并查集的基础上，注意以下问题：
1、每个节点都记录的是与根节点之间的权值，那么在Find的路径压缩过程中，权值也应该做相应的更新，因为在路径压缩之前，每个节点都是与其父节点链接着，那个Value自然也是与其父节点之间的权值。
2、在两个并查集做合并的时候，权值也要做相应的更新，因为两个并查集的根节点不同。
还是以 AcWing 240. 食物链 为例子来说明。
如图所示，食物链形成一个循环，通过带权并查集，用某个节点到根节点的路径长度来区别不同的关系。虽然我们无法知道图中根节点1号，具体是A类还是B类还是C类，但是我们却仍然通过到节点到节点之间的的距离，判断他们的对应关系。
1、如果节点x到节点y的距离为0时，此时代表为x和y同类。
2、如果节点x到节点y的距离为1时，此时代表为x吃y。
3、如果节点x到节点y的距离为2时，此时代表为x被y吃。
循环推断，因此可以得出节点到根节点的距离distance%3=0，1，2时，分别代表为根节点的同类、被根节点吃，吃根节点。任意两个节点只需要判断与根节点的关系，就能判断这两个节点之间的一个关系，演变为distance到根节点的距离，就可以判断两个节点之间的距离。
1、初始化
const int N = 100010;
int p[N], dist[N];// dist代表节点x到根节点的距离
//初始化并查集，全局变量dist已经自动初始化为0
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
2、压缩路径查找操作
//压缩路径查找
int find(int x) {
if (p[x] != x) {
//返回根节点，t暂存p[x]的根节点
int t = find(p[x]);
//上面find(p[x])递归一轮到根节点后，实际上dist[p[x]]存储的已经是p[x]到根节点的距离了
//类似与逐层递归上去,而dist[p[x]],也会递归的返回从根节点到p[x]的距离（可以递归模拟一下）
//x到新父节点（根节点，因为会压缩到根节点）的距离等于x到旧父节点的距离加上旧父节点到根节点的距离
dist[x] += dist[p[x]];
//将x的父节点也设置为根节点，达到压缩路径
p[x] = t;
}
return p[x];
}
3、合并图解
4、AC代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
// dist[x]始终记录的是的时x到p[x]（父节点）的距离
//只不过一旦进行了压缩路径查找，路径上所有节点的父节点都会变为根节点
//故此时dist[x]就可以直接代表，x到根节点的路径
int p[N], dist[N];
//压缩路径查找
int find(int x) {
if (p[x] != x) {
//返回根节点，t暂存p[x]的根节点
int t = find(p[x]);
//上面find(p[x])递归一轮到根节点后，实际上dist[p[x]]存储的已经是p[x]到根节点的距离了
//类似与逐层递归上去,而dist[p[x]]也会一层一层的加上父节点到根节点的距离（可以递归模拟一下）
//x到新父节点（根节点，因为会压缩到根节点）的距离等于x到旧父节点的距离加上旧父节点到根节点的距离
dist[x] += dist[p[x]];
//将x的父节点也设置为根节点，达到压缩路径
p[x] = t;
}
return p[x];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, k;
cin >> n >> k;
//初始化并查集，全局变量dist已经自动初始化为0
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
int res = 0;
while (k--) {
int op, x, y;
cin >> op >> x >> y;
if (x > n || y > n) {
res++;
}
else
{
int px = find(x), py = find(y);
//说的话是 x和y是同类
if (op == 1) {
//当x和y在同一个集合且不满足d[x]%3!=d[y]%3时，是假话
if (px == py && (dist[x] - dist[y]) % 3) {
res++;
}
else if (px != py) {
p[px] = p[py];
//dist[x] dist[px]
dist[px] = dist[y] - dist[x];
}
}
else
{
//当x和y在同一个集合且不满足d[x]%3!=(d[y]+1)%3时，是假话
if (px == py && ((dist[x] - dist[y] - 1) % 3)) res++;
else if (px != py) {
p[px] = p[py];
dist[px] = dist[y] + 1 - dist[x];
}
}
}
}
cout << res << '\n';
return 0;
}
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