摘要

本研究提出了一种基于遗传算法的车辆路径规划（VRP）问题求解框架，它能够有效地处理一系列复杂约束，包括软时间窗、硬时间窗、行驶距离限制、车辆最大载重量、多个配送中心的协调、特定的配送顺序，以及多种车型的选择。该框架的一个关键特点在于其与其他算法的结合潜力，特别是可以快速与模拟退火、领域搜索等算法快速结合，以便开发出混合优化算法，这一能力将进一步加强搜索效率和解的质量。本文主要介绍算法框架的编码、解码以及交叉变异等内容，并以一个简单实例论证框架的可行性。

VRP问题

问题定义

车辆路径问题（VRP）涉及服务一组客户，每个客户都有某些货物的需求。目标是为一组车辆规划路线，使所有客户都得到服务。核心问题是确定哪辆车应服务哪些客户，以及访问顺序，以最小化总路线成本，这通常是指路线的总长度、总时间或使用的车辆数量。在VRP的最基本形式中，每辆车从配送中心出发，服务一系列客户，然后返回配送中心。每个客户被且只被一辆车服务一次。

常见约束

（1）容量约束： 每辆车有最大的承载能力，不能超载服务客户。
（2）服务约束： 每辆车分配的路线必须在其工作时长内完成。
（3）时间窗约束： 对于VRP的变体VRPTW，每个客户可能会有一个服务 时间窗口，即服务必须在特定的时间内开始。
（4）车辆数目约束： 可用的车辆数量可能是有限的。
（5）客户需求约束： 每个客户的需求必须得到完全满足。
（6）行驶距离约束：每辆车有最大行驶距离。
（7）配送顺序约束：需求点之间存在配送先后顺序。

常用算法

（1）精确算法： 如线性规划、混合整数规划（使用专门的优化软件如CPLEX、Gurobi）、分支限界等算法，能够求解问题的最优解，但随着问题规模的增加，计算复杂度会迅速上升。
（2）启发式算法： 如节约算法、插入算法、Sweep算法等，它们可以在有限时间内为VRP问题找到较好的解，但不保证最优。
（3）元启发式算法： 如模拟退火、遗传算法、禁忌搜索、蚁群算法、粒子群优化等，这些算法通过迭代搜索来改进解，通常能够产生高质量的近似最优解，适用于大规模问题。
（4）混合启发式： 结合两种或多种启发式或元启发式算法，利用它们各自的优点，以获得更优解。例如，先使用一个启发式算法生成初始解，然后应用另一个不同类型的启发式算法来进一步改进解。

算法设计

遗传算法（Genetic Algorithms, GA）是一种借鉴生物进化过程的全局优化搜索算法，通过自然选择和遗传机制（如交叉、变异）来逐代演化出问题的解。在求解车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）时，遗传算法通过模拟自然选择和遗传机制，提供了一个弹性、高效和鲁棒的途径，适用于各种复杂的变体和实际应用场景。

算子编码

为了支持前文提到的所有约束，本文算子编码采用三段式编码，第一段为需求点遍历顺序的编码，第二段为车辆覆盖范围的编码，第三段为配送点选择的编码。假设对于一个需求点数量为8，车辆数为3，配送中心数量为2的VRP问题，某个个体编码如下。

						[0,1,2,3,4,5,6,7,3,5,8,9,8]

该段编码中[0,1,2,3,4,5,6,7]为需求点遍历顺序编码。[3,5]为车辆覆盖范围编码，即第1辆车覆盖范围为[0,3），第二辆车覆盖范围为[3,5)，第三辆车的覆盖范围为[5,8)。[8,9,8]为配送中心编码，表示三辆车分配来自配送点8、9、8。因此，改个体的配送路径为：

								[8,0,1,2,8]
								[9,3,4,9]
								[8,5,6,7,8]

下面是生成种群个体的代码：

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生成单个个体
'''
def gen_individual(self):
    # 需求点遍历顺序
    individual=[i for i in range(self.vrp.costomer_num)]
    random.shuffle(individual)
    
    # 车辆分割点
    cur=0
    for i in range(self.car_num-1):
        rnd=randint(cur+1,self.vrp.costomer_num-self.car_num+i+1)
        cur=rnd
        individual.append(cur)
        
    # 仓库选择
    for i in range(self.car_num):
        individual.append(randint(self.vrp.costomer_num,costomer_num+self.vrp.warehouse_num-1))
    
    return self.adjust_individual(individual)

算子交叉

交叉是遗传算法中最重要的操作之一，本文交叉操作采用三个个体两两交叉的方式，三个个体两两交叉，产生的个体数仍然为三，能够有效维持种群稳定性

'''
三个个体交叉
'''
def triple_cross_individual(self,individual1,individual2,individual3):
    child1=self.double_cross_individual(individual1,individual2)
    child2=self.double_cross_individual(individual1,individual3)
    child3=self.double_cross_individual(individual2,individual3)
    return (child1,child2,child3)

交叉方式分为四步，第一步是需求点遍历顺序的交叉，需求点遍历顺序的交叉为均匀交叉，假设个体1的需求点遍历顺序为[0,1,2,3]，个体2需求点的便利顺序为[3,2,1,0]，即每次生成一个随机数，根据随机数的取值将个体1和个体2的当前需求点分配给子代1和子代2。第二步是车辆覆盖范围的交叉，采用单次交叉的交叉方式，生成一次随机数，根据随机数的取值将个体1个个体2的编码整段分配给子代1和子代2。第三步是配送中心编码的交叉，配送中心编码的交叉与第一步一直，多次生成随机数，而后将子代1和2的对应编码值按照随机数赋给子代1和子代2。第四步是择优，即选择适应度更优的个体作为最终被接受的子代。

'''
两个个体交叉
'''
def double_cross_individual(self,individual1,individual2):
    child1,child2=[],[]
    
    # 需求点遍历
    for i in range(self.vrp.costomer_num):
        rnd=randint(0,1)
        if rnd:
            if not individual1[i] in child1:
                child1.append(individual1[i])
            else:
                child2.append(individual1[i])
                
            if not individual2[i] in child1:
                child1.append(individual2[i])
            else:
                child2.append(individual2[i])
        else:
            if not individual1[i] in child2:
                child2.append(individual1[i])
            else:
                child1.append(individual1[i])
            if not individual2[i] in child2:
                child2.append(individual2[i])
            else:
                child1.append(individual2[i])
            
    # 车辆切割点
    rnd=randint(0,1)
    if rnd:
        child1+=individual1[self.vrp.costomer_num:self.vrp.costomer_num+self.car_num-1]
        child2+=individual2[self.vrp.costomer_num:self.vrp.costomer_num+self.car_num-1]
    else:
        child1+=individual2[self.vrp.costomer_num:self.vrp.costomer_num+self.car_num-1]
        child2+=individual1[self.vrp.costomer_num:self.vrp.costomer_num+self.car_num-1]
            
    # 仓库选择
    for i in range(self.car_num):
        ii=self.vrp.costomer_num+self.car_num-1+i
        rnd=randint(0,1)
        if rnd:
            child1.append(individual1[ii])
            child2.append(individual2[ii])
        else:
            child1.append(individual2[ii])
            child2.append(individual1[ii])
            
    # 选择更好的child
    child1=self.adjust_individual(child1)
    child2=self.adjust_individual(child2)
    if self.fitness_value(child1)>self.fitness_value(child2):
        return child1
    return child2

算子变异

算子变异是遗传算法的基础操作之一，其目的在于避免种群过早收敛，赋予一定跳出局部最优的能力。本文的算子变异包含两部分，一部分为需求点遍历顺序的变异，即随机选择两个需求点，对其进行位置互换。第二部分为配送中心变异，即随机选择一个配送中心，使其发生变化，转变为从另外一个仓库进行配送。

'''
个体变异
'''
def variate_individual(self,individual):
    copy_individual=deepcopy(individual)
    
    # 需求点遍历顺序变异
    rnd=randint(0,1)
    if rnd:
        p=random.sample(copy_individual[:self.vrp.costomer_num],2)
        temp=copy_individual[p[0]]
        copy_individual[p[0]]=copy_individual[p[1]]
        copy_individual[p[1]]=temp
    
    # 仓库选择变异
    rnd=randint(0,1)
    if rnd:
        idx=randint(0,self.car_num-1)
        copy_individual[self.vrp.costomer_num+self.car_num-1+idx]=\
        randint(self.vrp.costomer_num,costomer_num+self.vrp.warehouse_num-1)
        
    return self.adjust_individual(copy_individual)

适应度函数

适应度是评价个体好坏的标准，本文考虑配送配送距离和时间窗的违背成本，通过加权方式将其结合起来。

'''
计算适应度
'''
def fitness_value(self,individual):
    # 非可行解
    if not individual:
        return 0
    
    # 路径解析
    routes=self.resolve_individual(individual)
    
    # 判断是否可行
    if not self.valid_routes(routes):
        return 0
    
    # 总成本
    total_cost=0
    
    # 距离成本
    for k in routes:
        route=routes[k]
        driving_distance=self.get_driving_distance(route)
        total_cost+=driving_distance
    
    # 时间成本
    time_tables=self.get_time_table(routes)
    for k in time_tables:
        time_table=time_tables[k]
        time_cost=self.get_time_cost(time_table)
        total_cost+=time_cost
        
    return 1/total_cost

实例分析

问题描述

本文以一个单配送中心的VRPTW问题为例，验证本文算法框架的有效性 。该问题描述为共有8个需求点，客户i的需求量为q_i，卸货时间为T_i，客户i要求车辆的到达时间为[ET_i,LT_i]，各客户要求的具体数据如下表所示。

客户与需求点之间的距离如下表所示，在这里0表示配送中心，客户需要的所有需求，均由载重为10吨的车辆来完成，车辆速度为50km每小时，早到和晚到的成本都是50km，即每早到或晚到1h，等同于多走50km的距离。

结果展示

每代个体30个，迭代代数为100代，迭代结果如下图所示。

最终结果如下，配送车辆为3，配送距离为1055。

{0: [0, 8, 6, 4, 0], 1: [0, 3, 7, 2, 0], 2: [0, 1, 5, 0]}

本文总结

本研究展示了一种进阶的车辆路径规划(VRP)问题求解框架，重点在于遗传算法的核心应用和扩展性。文中详细阐述了算法的关键组成部分，包括个体编码、解码策略以及交叉和变异机制的设计，确保了可操作性和解的有效性。此外，文章通过一具体实例，证明了该框架不仅在理论上的可行性，同时其实践应用也显示出强大的问题解决能力。最终，本研究为解决复杂的VRP问题提供了一种创新的方法论和方案，预示着在物流及配送问题中的广泛应用前景。