K-Means（K-均值）、k-median聚类算法机器学习

聚类聚类，简单来说，就是将一个庞杂数据集中具有相似特征的数据自动归类到一起，称为一个簇，簇内的对象越相似，聚类的效果越好。它是一种无监督的学习(Unsupervised Learning)方法,不需要预先标注好的训练集。聚类与分类最大的区别就是分类的目标事先已知，例如猫狗识别，你在分类之前已经预先知道要将它分为猫、狗两个种类；而在你聚类之前，你对你的目标是未知的，同样以动物为例，对于一个动物集来说

Tc.小浩

5107人浏览 · 2021-09-25 17:16:31

Tc.小浩 · 2021-09-25 17:16:31 发布

聚类

聚类，简单来说，就是将一个庞杂数据集中具有相似特征的数据自动归类到一起，称为一个簇，簇内的对象越相似，聚类的效果越好。它是一种无监督的学习(Unsupervised Learning)方法,不需要预先标注好的训练集。聚类与分类最大的区别就是分类的目标事先已知，例如猫狗识别，你在分类之前已经预先知道要将它分为猫、狗两个种类；而在你聚类之前，你对你的目标是未知的，同样以动物为例，对于一个动物集来说，你并不清楚这个数据集内部有多少种类的动物，你能做的只是利用聚类方法将它自动按照特征分为多类，然后人为给出这个聚类结果的定义（即簇识别）。例如，你将一个动物集分为了三簇（类），然后通过观察这三类动物的特征，你为每一个簇起一个名字，如大象、狗、猫等，这就是聚类的基本思想。

K-Means 算法

K-Means 是发现给定数据集的 K 个簇的聚类算法, 之所以称之为 K-均值是因为它可以发现 K 个不同的簇, 且每个簇的中心采用簇中所含值的均值计算而成.
簇个数 K 是用户指定的, 每一个簇通过其质心（centroid）, 即簇中所有点的中心来描述.
聚类与分类算法的最大区别在于, 分类的目标类别已知, 而聚类的目标类别是未知的.

有点

属于无监督学习，无须准备训练集
原理简单，实现起来较为容易
结果可解释性较

缺点

需手动设置k值。在算法开始预测之前，我们需要手动设置k值，即估计数据大概的类别个数，不合理的k值会使结果缺乏解释性
可能收敛到局部最小值, 在大规模数据集上收敛较慢
对于异常点、离群点敏感

使用数据类型：数值型数据

K-Means场景

kmeans，如前所述，用于数据集内种类属性不明晰，希望能够通过数据挖掘出或自动归类出有相似特点的对象的场景。其商业界的应用场景一般为挖掘出具有相似特点的潜在客户群体以便公司能够重点研究、对症下药。

例如，在2000年和2004年的美国总统大选中，候选人的得票数比较接近或者说非常接近。任一候选人得到的普选票数的最大百分比为50.7%而最小百分比为47.9% 如果1%的选民将手中的选票投向另外的候选人，那么选举结果就会截然不同。实际上，如果妥善加以引导与吸引，少部分选民就会转换立场。尽管这类选举者占的比例较低，但当候选人的选票接近时，这些人的立场无疑会对选举结果产生非常大的影响。如何找出这类选民，以及如何在有限的预算下采取措施来吸引他们？答案就是聚类（Clustering)。

那么，具体如何实施呢？首先，收集用户的信息，可以同时收集用户满意或不满意的信息，这是因为任何对用户重要的内容都可能影响用户的投票结果。然后，将这些信息输入到某个聚类算法中。接着，对聚类结果中的每一个簇（最好选择最大簇），精心构造能够吸引该簇选民的消息。最后，开展竞选活动并观察上述做法是否有效。

另一个例子就是产品部门的市场调研了。为了更好的了解自己的用户，产品部门可以采用聚类的方法得到不同特征的用户群体，然后针对不同的用户群体可以对症下药，为他们提供更加精准有效的服务。

K-Means 术语

簇: 所有数据的点集合，簇中的对象是相似的。
质心: 簇中所有点的中心（计算所有点的均值而来）.
SSE: Sum of Sqared Error（误差平方和）, 它被用来评估模型的好坏，SSE 值越小，表示越接近它们的质心. 聚类效果越好。由于对误差取了平方，因此更加注重那些远离中心的点（一般为边界点或离群点）。

有关簇和质心术语的形象介绍，参考下图
在这里插入图片描述

上图a表达了初始的数据集，假设k=2。在图b中，我们随机选择了两个k类所对应的类别质心，即图中的红色质心和蓝色质心，然后分别求样本中所有点到这两个质心的距离，并标记每个样本的类别为和该样本距离最小的质心的类别，如图c所示，经过计算样本和红色质心和蓝色质心的距离，我们得到了所有样本点的第一轮迭代后的类别。此时我们对我们当前标记为红色和蓝色的点分别求其新的质心，如图4所示，新的红色质心和蓝色质心的位置已经发生了变动。图e和图f重复了我们在图c和图d的过程，即将所有点的类别标记为距离最近的质心的类别并求新的质心。最终我们得到的两个类别如图f。

    当然在实际K-Mean算法中，我们一般会多次运行图c和图d，才能达到最终的比较优的类别。

K-Means 工作流程

1、首先, 随机确定 K 个初始点作为质心（不必是数据中的点）。
2、然后将数据集中的每个点分配到一个簇中, 具体来讲, 就是为每个点找到距其最近的质心, 并将其分配该质心所对应的簇. 这一步完成之后, 每个簇的质心更新为该簇所有点的平均值.
3、重复上述过程直到数据集中的所有点都距离它所对应的质心最近时结束。
上述过程的伪代码如下：

创建 k 个点作为起始质心（通常是随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时（不改变时算法结束）
- 对数据集中的每个数据点
- 对每个质心
- 计算质心与数据点之间的距离
- 将数据点分配到距其最近的簇
对每一个簇, 计算簇中所有点的均值并将均值作为质心

K-Means 的评价标准

k-means算法因为手动选取k值和初始化随机质心的缘故，每一次的结果不会完全一样，而且由于手动选取k值，我们需要知道我们选取的k值是否合理，聚类效果好不好，那么如何来评价某一次的聚类效果呢？
也许将它们画在图上直接观察是最好的办法，但现实是，我们的数据不会仅仅只有两个特征，一般来说都有十几个特征，而观察十几维的空间对我们来说是一个无法完成的任务。因此，我们需要一个公式来帮助我们判断聚类的性能，这个公式就是SSE (Sum of Squared Error, 误差平方和），它其实就是每一个点到其簇内质心的距离的平方值的总和，这个数值对应kmeans函数中clusterAssment矩阵的第一列之和。
SSE值越小表示数据点越接近于它们的质心，聚类效果也越好。因为对误差取了平方，因此更加重视那些远离中心的点。一种肯定可以降低SSE值的方法是增加簇的个数，但这违背了聚类的目标。聚类的目标是在保持簇数目不变的情况下提高簇的质量。
优点

原理比较简单，实现也是很容易，收敛速度快。
聚类效果较优。
算法的可解释度比较强。
主要需要调参的参数仅仅是簇数k。

缺点

K值的选取不好把握
对于不是凸的数据集比较难收敛
如果各隐含类别的数据不平衡，比如各隐含类别的数据量严重失衡，或者各隐含类别的方差不同，则聚类效果不佳。
最终结果和初始点的选择有关，容易陷入局部最优。
对噪音和异常点比较的敏感。

K-Means 聚类算法函数

从文件加载数据集

# 从文本中构建矩阵，加载文本文件，然后处理
def loadDataSet(fileName):    # 通用函数，用来解析以 tab 键分隔的 floats（浮点数），例如: 1.658985	4.285136
    dataMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = map(float,curLine)    # 映射所有的元素为 float（浮点数）类型
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat

计算两个向量的欧式距离

# 计算两个向量的欧式距离（可根据场景选择其他距离公式）
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) # la.norm(vecA-vecB)

构建一个包含K个随机质心的集合

# 为给定数据集构建一个包含 k 个随机质心的集合。随机质心必须要在整个数据集的边界之内，这可以通过找到数据集每一维的最小和最大值来完成。然后生成 0~1.0 之间的随机数并通过取值范围和最小值，以便确保随机点在数据的边界之内。
def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1] # 列的数量，即数据的特征个数
    centroids = mat(zeros((k,n))) # 创建k个质心矩阵
    for j in range(n): # 创建随机簇质心，并且在每一维的边界内
        minJ = min(dataSet[:,j])    # 最小值
        rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)    # 范围 = 最大值 - 最小值
        centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))    # 随机生成，mat为numpy函数，需要在最开始写上 from numpy import *
    return centroids

K-means聚类算法

# k-means 聚类算法
# 该算法会创建k个质心，然后将每个点分配到最近的质心，再重新计算质心。
# 这个过程重复数次，直到数据点的簇分配结果不再改变位置。
# 运行结果（多次运行结果可能会不一样，可以试试，原因为随机质心的影响，但总的结果是对的， 因为数据足够相似，也可能会陷入局部最小值）
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
    m = shape(dataSet)[0]    # 行数，即数据个数
    clusterAssment = mat(zeros((m, 2)))    # 创建一个与 dataSet 行数一样，但是有两列的矩阵，用来保存簇分配结果
    centroids = createCent(dataSet, k)    # 创建质心，随机k个质心
    clusterChanged = True
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        for i in range(m):    # 循环每一个数据点并分配到最近的质心中去
            minDist = inf; minIndex = -1
            for j in range(k):
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])    # 计算数据点到质心的距离
                if distJI < minDist:    # 如果距离比 minDist（最小距离）还小，更新 minDist（最小距离）和最小质心的 index（索引）
                    minDist = distJI; minIndex = j
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:    # 簇分配结果改变
                clusterChanged = True    # 簇改变
                clusterAssment[i, :] = minIndex,minDist**2    # 更新簇分配结果为最小质心的 index（索引），minDist（最小距离）的平方
        print centroids
        for cent in range(k): # 更新质心
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A==cent)[0]] # 获取该簇中的所有点
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) # 将质心修改为簇中所有点的平均值，mean 就是求平均值的
    return centroids, clusterAssment

参考运行结果如下：
在这里插入图片描述

K-Means 聚类算法的缺陷

在 KMeans 的函数测试中，可能偶尔会陷入局部最小值（局部最优的结果，但不是全局最优的结果）.

局部最小值的的情况如下:
在这里插入图片描述
出现这个问题有很多原因，可能是k值取的不合适，可能是距离函数不合适，可能是最初随机选取的质心靠的太近，也可能是数据本身分布的问题。

为了解决这个问题，我们可以对生成的簇进行后处理，一种方法是将具有最大SSE值的簇划分成两个簇。具体实现时可以将最大簇包含的点过滤出来并在这些点上运行K-均值算法，令k设为2。

为了保持簇总数不变，可以将某两个簇进行合并。从上图中很明显就可以看出，应该将上图下部两个出错的簇质心进行合并。那么问题来了，我们可以很容易对二维数据上的聚类进行可视化，但是如果遇到40维的数据应该如何去做？

有两种可以量化的办法: 合并最近的质心，或者合并两个使得SSE增幅最小的质心。第一种思路通过计算所有质心之间的距离，然后合并距离最近的两个点来实现。第二种方法需要合并两个簇然后计算总SSE值。必须在所有可能的两个簇上重复上述处理过程，直到找到合并最佳的两个簇为止。

因为上述后处理过程实在是有些繁琐，所以有更厉害的大佬提出了另一个称之为二分K-均值（bisecting K-Means）的算法.

二分 K-Means 聚类算法

该算法首先将所有点作为一个簇，然后将该簇一分为二。
之后选择其中一个簇继续进行划分，选择哪一个簇进行划分取决于对其划分时候可以最大程度降低 SSE（平方和误差）的值。
上述基于 SSE 的划分过程不断重复，直到得到用户指定的簇数目为止。

二分 K-Means 聚类算法伪代码

将所有点看成一个簇
当簇数目小于 k 时
对于每一个簇
计算总误差
在给定的簇上面进行 KMeans 聚类（k=2）
计算将该簇一分为二之后的总误差
选择使得误差最小的那个簇进行划分操作

另一种做法是选择 SSE 最大的簇进行划分，直到簇数目达到用户指定的数目位置

二分 K-Means 聚类算法代码

python2

# 二分 KMeans 聚类算法, 基于 kMeans 基础之上的优化，以避免陷入局部最小值
def biKMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
    m = shape(dataSet)[0]
    clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 保存每个数据点的簇分配结果和平方误差
    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0] # 质心初始化为所有数据点的均值
    centList =[centroid0] # 初始化只有 1 个质心的 list
    for j in range(m): # 计算所有数据点到初始质心的距离平方误差
        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2
    while (len(centList) < k): # 当质心数量小于 k 时
        lowestSSE = inf
        for i in range(len(centList)): # 对每一个质心
            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:] # 获取当前簇 i 下的所有数据点
            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas) # 将当前簇 i 进行二分 kMeans 处理
            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1]) # 将二分 kMeans 结果中的平方和的距离进行求和
            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1]) # 将未参与二分 kMeans 分配结果中的平方和的距离进行求和
            print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit
            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: # 总的（未拆分和已拆分）误差和越小，越相似，效果越优化，划分的结果更好（注意: 这里的理解很重要，不明白的地方可以和我们一起讨论）
                bestCentToSplit = i
                bestNewCents = centroidMat
                bestClustAss = splitClustAss.copy()
                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit
        # 找出最好的簇分配结果    
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) # 调用二分 kMeans 的结果，默认簇是 0,1. 当然也可以改成其它的数字
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit # 更新为最佳质心
        print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit
        print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss)
        # 更新质心列表
        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0] # 更新原质心 list 中的第 i 个质心为使用二分 kMeans 后 bestNewCents 的第一个质心
        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) # 添加 bestNewCents 的第二个质心
        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss # 重新分配最好簇下的数据（质心）以及SSE
    return mat(centList), clusterAssment

测试二分 KMeans 聚类算法

上述函数可以运行多次，聚类会收敛到全局最小值，而原始的 kMeans() 函数偶尔会陷入局部最小值。
运行参考结果如下:

在这里插入图片描述

K-Means初始化优化K-Means++

k个初始化的质心的位置选择对最后的聚类结果和运行时间都有很大的影响，因此需要选择合适的k个质心。如果仅仅是完全随机的选择，有可能导致算法收敛很慢。K-Means++算法就是对K-Means随机初始化质心的方法的优化。

K-Means++的对于初始化质心的优化策略也很简单，如下：

在这里插入图片描述

K-Means++对初始聚类中心点的选取做了优化，简要来说就是使初始聚类中心点尽可能的分散开来，这样可以有效的减少迭代次数，加快运算速度。

K-Means距离计算优化elkan K-Means

在传统的K-Means算法中，我们在每轮迭代时，要计算所有的样本点到所有的质心的距离，这样会比较的耗时。那么，对于距离的计算有没有能够简化的地方呢？elkan K-Means算法就是从这块入手加以改进。它的目标是减少不必要的距离的计算。那么哪些距离不需要计算呢？

elkan K-Means利用了两边之和大于等于第三边,以及两边之差小于第三边的三角形性质，来减少距离的计算。

第一种规律是对于一个样本点x和两个质心 $μ_j1$ , $μ_j2$ 。如果我们预先计算出了这两个质心之间的距离D(j1,j2)，则如果计算发现2D(x,j1)≤D(j1,j2),我们立即就可以知道D(x,j1)≤D(x,j2)。此时我们不需要再计算D(x,j2),也就是说省了一步距离计算。

第二种规律是对于一个样本点x和两个质心 $μ_j1$ , $μ_j2$ 。我们可以得到D(x,j2)≥max{0,D(x,j1)−D(j1,j2)}。这个从三角形的性质也很容易得到。

利用上边的两个规律，elkan K-Means比起传统的K-Means迭代速度有很大的提高。但是如果我们的样本的特征是稀疏的，有缺失值的话，这个方法就不使用了，此时某些距离无法计算，则不能使用该算法。

大样本优化Mini Batch K-Means

在统的K-Means算法中，要计算所有的样本点到所有的质心的距离。如果样本量非常大，比如达到10万以上，特征有100以上，此时用传统的K-Means算法非常的耗时，就算加上elkan K-Means优化也依旧。在大数据时代，这样的场景越来越多。此时Mini Batch K-Means应运而生。

顾名思义，Mini Batch，也就是用样本集中的一部分的样本来做传统的K-Means，这样可以避免样本量太大时的计算难题，算法收敛速度大大加快。当然此时的代价就是我们的聚类的精确度也会有一些降低。一般来说这个降低的幅度在可以接受的范围之内。

在Mini Batch K-Means中，我们会选择一个合适的批样本大小batch size，我们仅仅用batch size个样本来做K-Means聚类。那么这batch size个样本怎么来的？一般是通过无放回的随机采样得到的。

为了增加算法的准确性，我们一般会多跑几次Mini Batch K-Means算法，用得到不同的随机采样集来得到聚类簇，选择其中最优的聚类簇。

K-Means与KNN

初学者很容易把K-Means和KNN搞混，两者其实差别还是很大的。

K-Means是无监督学习的聚类算法，没有样本输出；而KNN是监督学习的分类算法，有对应的类别输出。KNN基本不需要训练，对测试集里面的点，只需要找到在训练集中最近的k个点，用这最近的k个点的类别来决定测试点的类别。而K-Means则有明显的训练过程，找到k个类别的最佳质心，从而决定样本的簇类别。

当然，两者也有一些相似点，两个算法都包含一个过程，即找出和某一个点最近的点。两者都利用了最近邻(nearest neighbors)的思想。

k-median

k-median 算法是k-means 算法的一种变形。它的基本原理和我们的k-means 相似。这个就是最重要的一句话。

如果你会了k-means 算法，那么k-median 算法对你来说就是相当简单的啦。因为k-means 定义的时候就是不断的更换我们的中心，中心的选取是根据聚类的平均值也就是我们的means 来定的。那么k-medians 选取的就是我们的中位数

k-median 算法和k-means 算法的区别

距离公式可能不同。 k-means 一般会选取欧几里得距离公式，你看有的英文书的时候我们会把这个叫做2-norm 因为这个时候我们要算一个平方。当然了，k-means 也是可以用我们的曼哈顿距离公式来计算的，也就是1-norm. k-median 一般是用1-norm 的距离公式来计算的，我们一般用我们曼哈顿距离公式来计算。

欧几里得距离计算公式
在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量
曼哈顿距离

中心点的选取方式不同。 k-means 用的是平均值来重新计算分布我们的每个聚类当中的点，但是k-medians 算法选取的就是我们的中位值。这个好处就是针对一个数据集来了几个噪音特别大的点，也就是和其他的点分布远的离谱的点，中位值的变化也是不是很大的。甚至可能没有变化。
所以说k-median 的Robustness 比k-means 的要好

k-median 算法的描述

选取我们的初始的中心点的个数
计算剩余的点的距离到初始的中心点的距离
将距离到中心点的距离最短的归为一类
用曼哈顿距离重新计算中心点
重复3,4两个步骤，直到中心点不会变化为止

在这里插入图片描述
这里我们有十个点，我们要将我们的数据划分为两个类，这个时候，我们选取两个初始的中心点为3号，和6号。
我们用曼哈顿距离公式为他们进行划分：

得到的结果是：
这个时候我们第一次的迭代发现
1,2,3,4,5,7,9,10
是一个类
6,8 是另一个类

我们的点集是下面这个样子的
（3,8）
（3,6）
（3,4）
（4,5）
（4,7）
（5,5）
（7,5）
（8,5）
对横坐标排序之后的中位数是4，
对纵坐标排序之后的中位数是5
这个时候第一个集合的中心点就变成了（4,5）
第二个集合的点集是（5,1）（7,3）中心点就是（6,2）
这个时候我们在重新计算新的聚类
在这里插入图片描述
这个时候得到的结果还是一样的，迭代结束。
得到了我们的聚类的结果。