一、直接卷积运算的缺点

如果图像是$n\times n$，过滤器是$f\times f$，那么卷积运算的结果是$(n-f+1)\times (n-f+1)$

• 随着一次次卷积运算的进行，图像会越来越小，如果神经网络深度很大，图像可能变得特别特别小。
• 覆盖边缘和角落像素点的过滤器远远比中间像素点少，导致丢失图像边缘位置的信息。

二、Padding

在原图像的四周填充一层像素点（习惯填充0），使得$n\times n\to (n+2)\times (n+2)$，通过$3\times 3$过滤器的卷积后得到$n\times n$结果，故图像尺寸没有改变。
一般地，设填充数量为$p$，在上面这个例子中，周围填充一层，所以$p=1.$
最终卷积结果为：$(n+2p-f+1)\times (n+2p-f+1)$

三、两种卷积方式

• Valid 卷积不填充
  $(n\times n)\ast (f\times f)\to (n-f+1)\ast (n-f+1)$
  $p=0$
• Same 卷积后保存大小不变
  $[(n+2p)\times (n+2p)]\ast (f\times f)\to (n+2p-f+1)\times (n+2p-f+1)$
  $n+2p-f+1=n\Rightarrow p=(f-1)/2$

卷积神经网络中，过滤器的$f$通常是奇数（odd）大小的，例如$3\times 3,5\times 5$。为什么会有这样一个结论呢？主要的原因如下：

• 如果$f$是偶数，计算$p=(f-1)/2$不会是整数，所以需要非对称填充。
• 如果$f$是奇数，过滤器存在一个中心像素点，便于指出过滤器的位置。

四、卷积步长Stride

在前面的基础上，设步长stride为$s$，在上图的例子中$s=2$
一般地，
$$[(n+2p)\times (n+2p)]\ast (f\times f)\to (\frac{n+2p-f}{s}+1)\times (\frac{n+2p-f}{s}+1)$$

如果除以步长$s$那里不能取整怎么办？通常做法是【向下取整】，即：
$$\lfloor \frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor \times \lfloor \frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor$$

向下取整的意义很简单，如果过滤器移动时超出了图像范围，那就不要做这一步卷积操作。

五、互相关（cross-correlation）和卷积（convolution）的技术说明

说这个问题之前，先说明什么是卷积：

• 官方定义：通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
• 卷：翻转
• 积：积分（离散则求和）
• 数学中，卷积的过程归纳为：翻转、移位、相乘、相加
• CNN中，卷积的过程归纳为：移位、相乘、相加

在数学教材中，卷积的定义有一些不同之处，过滤器需要先中心对称（翻转180°），再进行卷积运算。
前面学习的卷积操作实际上是互相关而不是卷积，有同学评论得很形象呀：“没有卷，只有积。”
但是！在深度学习的文献中，我们不需要翻转过滤器，图像和过滤器逐个元素相乘求和的过程称作卷积操作，不需要多纠结这个问题。