线性代数基本概念

可交换：AB=BAA^n：1.数学归纳法2.拆为列向量*行向量3.A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P 使得 P-1AP=Λ ，求出P,求出A^n对称矩阵：A^T=A反称矩阵：A^T= - A幂等矩阵：B^n=B...

神迹小卒

12585人浏览 · 2021-01-14 17:05:45

神迹小卒 · 2021-01-14 17:05:45 发布

线性代数基本概念总结

一、行列式

线性方程组：各个方程关于未知量均为一次的方程组

行列式：|A|
行列式的计算：一阶，二阶，三阶，等等
行列式的变换性质和计算：交换变号，单行单列提k，k倍加另一行不变

余子式：没带数字，M

代数余子式：带了数字-1，A

多个代数余子式带系数相加：下标找位置，系数替换，求得行列式为结果
行列式的展开：各个元素乘对应的代数余子式
克拉默法则：AX=b，Xi=Di/D

二、矩阵及其运算

数量矩阵：（k是常数）

可交换：AB=BA

A^n：1.数学归纳法 2.拆为列向量*行向量 3.A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P 使得 $P^-^1AP=\Lambda$ ，求出P,求出 A^n

对称矩阵： A^T=A

反称矩阵： A^T= - A

幂等矩阵： B^n=B
对角矩阵：一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零
线性变换：矩阵常数元素转为线性方程组
矩阵的加减乘除和转置
方阵和N阶行列式的区别：N阶行列式是数，方阵是二维组合
逆矩阵： AA^-^1=I 或 A^-^1A=I

行等价：A和B行等价，就是说A经过若干次初等行变换可以变成B，方程组AX=0与BX=0同解，两个矩阵的行向量组可以互相线性表示，两个矩阵的秩相同
可逆的充分必要条件：|A|不等于0，A和I行等价，r（A）=n
矩阵分块：把大矩阵计算转换为小矩阵的计算

矩阵的标准型：I O

O O

秩的定义：非零子式的最高阶数

AA^T= [A一行平方和...An行平方和]

$a_{ij}=A_{ij}$ ：，A可逆

$a_{ij}=-A_{ij}$ ： A^*=-A^T

A为方阵，AB=0：|A|=0或者B=O

行满秩：矩阵秩等于行数

列满秩：若矩阵秩等于列数

满秩矩阵：A是n阶矩阵, r（A） = n, 则称A为满秩矩阵

三、矩阵的初等变换和线性方程组

等价：A经过有限次初等变换为B，A与B等价，施密特正交化并单位化后的向量组与原向量组等价

向量组等价：两个向量组可以互相线性表示

基础解系：极大线性无关组，可以线性表示方程的全部解

基础解系个数

矩阵变换的意义：用于线性方程组求解、求逆矩阵和矩阵理论探讨
矩阵初等变换：矩阵的行列初等变换统
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
把矩阵变换转换为矩阵的加减乘除计算
判断线性方程组的有解性：矩阵的秩
增广矩阵：变量y列移到矩阵最右边

$R(A+B)\leq R(A)+R(B)$

$R(A)+R(B)-n\leq R(AB)\leq min(R(A),R(B))$

AB=0   $R(A)+R(B)\leq n$

R (A) $\leq R(A)+R(B)$

    B

R(A O)=R(A)+R(B)

    O B

Ax=0有唯一解，而Ax=b无解：A不一定是方阵，如果A的行数>列数就可能出现Ax=0有唯一解，而Ax=0=b无解的情况

四、向量组的线性相关性

部分相关——>整体相关

整体无关——>部分无关

原来相关——>缩短相关

原来无关——>延长无关

多组由少组线性表示时，多组线性相关

特征值之和：|A|

A的特征值为 $\lambda$ ，的特征值为 $k\lambda +m$

f（A）=0对应的根为A可能的特征值

n阶矩阵有n个特征值（包括重根），而且对应特征向量有无数个。并且不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

代数重数：方程的根的重数

几何重数：该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间，也是方程组(λI-A)x=0）的维数

向量组：N维向量所组成的集合
向量组线性相关：向量组通过系数组合得到0
向量组的秩：最大线性无关向量组的向量个数
线性方程组解和解的性质
向量空间：N维向量集合，集合内的向量对于加、乘运算在集合类封闭，则称集合为向量空间

五、相似矩阵和二次型

内积：对应项相乘再相加

长度：每项的平方和后开根号

正交：内积为0

正交向量组：没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关

标准（规范）正交向量组：每个向量都是单位向量，没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关， $\alpha _{i}\alpha _{i}^T=1$ $\alpha _{i}\alpha _{j}^T=0$

标准正交基：向量个数=向量维数，没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关；向量个数=向量维数的向量组经过施密特正交化，单位化之后为标准正交基

施密特正交化方法：β和阿尔法转换

单位化，标准化：除以向量长度
正交矩阵： AA^T=I 或 A^TA=I ； A^-^1=A^T ；|A|=+-1；A正交B正交，AB正交；充要条件：构成的向量组为正交向量组

实矩阵：矩阵元素没有虚数

对称矩阵：

对角矩阵：一个方阵除了主对角线上的元素（ $\lambda$ ）外，其余元素都等于零

对称矩阵：矩阵元素没有虚数，；存在正交矩阵C 使得为对角矩阵；求C：求特征值->求基础解系->施密特->单位化->C

对称矩阵：1.n阶有n个特征值 2.f（A）=0对应的根为A可能的特征值 3.特征值的乘积为|A|

等价：PAQ=B，P与Q为可逆矩阵

tr(A)：对角元之和

相似： P^-^1AP=B ，A和B相似，A和B特征值相同（因为特征方程相同），一定等价，相似矩阵的秩相等

相似性质:1.tr（A）=tr（B）2.|A|=|B| 3.均可逆（或不可逆）4.和相似 5.和相似 6.特值相同 7.r（A）=r（B）

正交相似： P^-^1AP=B (P为正交矩阵)，一定相似，等价，合同

相似对角化：即存在可逆矩阵P 使得 $P^-^1AP=\Lambda$ ；对称矩阵必能相似对角化
特征值和特征向量：方阵*其特征向量=其特征值*特征向量

特征方程： $|\lambda *I-A|=0$
相似矩阵：设A B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使 P^-^1AP=B ，则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。
对称矩阵的对角化

二次型：未知数的次数只能为2次，不能有常数项

二次型矩阵：A为实对称矩阵， f(X)=X^TAX

二次型矩阵的秩：A的秩

线性变换：左乘系数矩阵，X=CY

逆线性变换：左乘系数矩阵的系数矩阵可逆，不改变秩

合同：C可逆，，A与B合同，一定等价，←→相同的正负惯性指数 ←→相同的正负特征值的个数
二元齐次函数的二次型
矩阵<->二次型： X^2 为主对角线，其余对称
由二次型求矩阵特征值

标准型： $y_{1}^2+y_{2}^2+...+y_{n}^2$
配方法化二次型为标准型：一一处理 $x_{1}$ $x_{2}$ ...，用y表示，用x反解

配方法化二次型为标准型（只有交叉项）： $x_{1}=y_{1}-y_{2}$ $x_{2}=y_{1}+y_{2}$ ... $x_{n}=y_{n}$

规范型 $y_{1}^2+y_{2}^2+...-y_{n}^2$

正惯性系数：系数为正的项数，正特征值的个数

负惯性系数：系数为负的项数，负特征值的个数

二次型矩阵的秩等于正负惯性指数的和

符号差：正惯性系数-负惯性系数

正交矩阵： AA^T=I 或 A^TA=I ； A^-^1=A^T ，列(行)向量两两正交,且长度为1

半正定矩阵：对称矩阵 A^T=A

正交变换：x=Py，矩阵P是正交矩阵

正交变换化二次型为标准型：求系数矩阵A的特征值，基础解系，基础解系施密特单位化构成C，X=CY $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\lambda _{1}y_{1}^2+\lambda _{2}y_{2}^2+\lambda _{3}y_{3}^2$
惯性定理：规范形是唯一的，同一个二次型的不同标准型，不同标准型的系数为正的项数和系数为负的项数相同
正定二次型：X非零，；系数矩阵A的所有顺序主子式>0；特征值>0；标准型系数>0；对称矩阵和I合同