【抽象代数】素理想、极大理想、唯一析因环、主理想整环、欧几里得环

素理想、极大理想、唯一析因环、主理想环、欧几里得环的概念和性质

karwen(^.^)

6069人浏览 · 2022-05-17 10:54:04

karwen(^.^) · 2022-05-17 10:54:04 发布

素理想

设 $R$ 是一个环， $I$ 是 $R$ 的理想，若 $ab\in I \Rightarrow a \in I$ 或 $\in I$ ，则称 $I$ 是素理想。

例：

整数环 $$ （由元素p生成的主理想），

若p是素数，且 $\in \ $ ，则 $p ∣ a b$ ， $\Rightarrow a \in \ \ 或 \ b \in \Rightarrow $ 是素理想。

性质

1）交换幺环中素理想的刻画

若R是交换幺环，I是R的理想，且 $\neq R$ ，则 $I$ 是 $R$ 的素理想 $\Leftrightarrow$ $R / I$ 是整环。
推论：交换幺环R是整环当且仅当 ${0\}$ 是素理想

极大理想

M是环R的理想，若 $\neq R$ ，且不存在R的真理想N，使得 $\subset N, M \neq N$ ，则称M是极大理想。

例：

整数环Z, $ ， p$ 是素数， $$ 是素理想的同时也是极大理想。

R是域， ${0\}$ 是域R的极大理想，事实上，设N是R的理想，且 $N\neq \{0\}$ ，则存在 $\in N 且 a \neq 0 \Rightarrow a^{-1}a =1 \in N \Rightarrow \forall b \in R, b=b \cdot 1 \in N \Rightarrow R = N$

性质

1）设R是交换幺环，M为R的极大理想，当且仅当R/M是域。

2）推论：交换幺环R的极大理想一定是素理想。
$\rightarrow R的极大理想 \Leftrightarrow R/I是域 \Leftrightarrow R/I是整环 \Leftrightarrow I是素理想$
3） $f$ 是交换幺环 $R$ 到 $R^{'}$ 的满同态， $M$ 是 $R$ 中包含 $k e r f$ 的素（极大）理想，则 $f (M)$ 是 $R^{'}$ 中素（极大）理想

唯一析因环

设R为整环，用 $U$ 表示幺半群 $R^* = R-\{0\}$ 中的可逆元的集合，则 $U$ 是交换群，称为 $R$ 的单位群， $U$ 中的元素称为单位。单位元一定是单位，1，-1都是单位。

例：

集合 $Z[\sqrt{-1}] = \{a+b\sqrt{-1} | a,b \in Z\}$ 定义加法和乘法 $\Rightarrow$ $Z[\sqrt{-1}]$ 是整环 $\Rightarrow$ $1,-1,\sqrt{-1},-\sqrt{-1}$ 都是单位。

相伴

设 $\in R$ ，若存在 $R$ 中的单位 $u$ ，使得 $a = u b$ ，则称 $a$ 与 $b$ 相伴，记为 $\sim b$

性质

1） $\forall a \in R, a|a,$ 若 $\Rightarrow a|c$

2） $u$ 是单位，则 $u|a,\forall a \in R$

3）若 $a$ 与 $b$ 相伴，则存在单位使得 $b = a u$ （对称性）

4）相伴关系时R中的等价关系且是 $R^*$ 幺半群中的同余关系

$\sim b \ \ \ c \sim d \Rightarrow a=bu_1 \ \ \ c=du_2 \Rightarrow ac = bd(u_1u_2 )\Rightarrow ac \sim bd$

平凡因子

设 $\in R^*$ ，则单位和a的相伴元都是a的因子，称为a的平凡因子，若b|a ,但是 $\nmid b$ ，则称b是a的真因子

不可约元素

设 $\in R^* -U$ ，若a没有非平凡的真因子，则称a为不可约元素。

例：在整数环中， $U = \{1,-1\}$ ，若 $\sim b \Leftrightarrow a = \pm b$ ，则a的不可约元素 $\Leftrightarrow a$ 为素数或者负素数。

设P是域，P[x]是P上的一元多项式环， $P^* = P-\{0\} ,f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow f(x)= cg(x)$ ，则 $f (x)$ 为不可约元素 $\Leftrightarrow$ $f (x)$ 是不可约多项式

素元素

设 $\in R^* -U$ ，且由 $\Rightarrow p|a 或p|b$

素元素一定是不可约元素。

例：

集合 $Z[\sqrt{-5}] = \{a +b \sqrt{-5} |a,b \in Z\}$ 定义普通的加法和乘法，3是不可约元素，但3不是素元素。

唯一析因环

如果整环 $R$ 满足下列条件：

1）有限析因条件： $\forall a \in R^* -U$ ，a可分解为有限个不可约元素的乘积，则有不可约元素 $p_i (1\le i \le r)$ 使得 $a = p_1p_2 ...p_r$

2）分解唯一定理：若 $\in R^* -U$ 有两种不可约元素乘积的分解
$a=p_1p_2...p_r =q_1q_2...q_s$
则有r=s，而且适当交换顺序可以有 $p_i \sim q_j ,1\le i \le r$ ，则称R是唯一析因环。

例：

整数环、数域上的一元多项式环都是唯一析因环。

$Z[-\sqrt{-5}]$ 不是唯一析因环，事实上 $\cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$

性质

1）唯一析因环R中的不可约元素是素元素。

2）整环 $R$ 满足有限析因条件，且每个不可约元素是素元素，则 $R$ 是唯一析因环。

公因子

设 $a_1,a_2,...,a_n \in R$ ，若 $\in R$ 整除 $a_1,a_2,...,a_n$ ，则称c是 $a_1,a_2,...,a_n$ 的公因子，若分因子d能被任何一个因子整除，则称d是最大公因子

3）设 $R$ 是唯一析因环， $\in R$ ，则 $a, b$ 的最大公因子存在，而且最大公因子相伴。

主理想整环

若交换幺环的每个理想都是主理想，则称此环为主理想环。若主理想环是整环，则称此环为主理想环。

例：

整数环Z是主理想整环。

性质

1）设R是主理想整环，若R中的一个序列 $a_1,a_2,a_3,....$ 里面每一个元素都是前面一个元素的真因子，则此序列是有限序列。

2）设R是主理想整环，若 $\in R^* -U$ 是不可约元素，则 $$ 是极大理想。

3）主理想整环是唯一析因环。

4）R是主理想整环， $a,b\in R$ ， $d$ 为 $a, b$ 的最大公因子，则存在 $\in R$ ，使得 $d = u a + v b$ 。

5）R是主理想整环， $a, b$ 互素 $\Leftrightarrow$ $\exist u,v \in R,st. ua+vb =1$

欧几里得环

设R是整环，若存在 $R^*$ 到 $\cup \{0\}$ 上的映射 $\delta$ ，使得 $\forall a,b \in R,b \neq0$ ，存在 $\in R$ ，满足 $a = q b + r$ ，其中 $r = 0$ 或 $\delta(r) < \delta(b)$ ，则称 $R$ 是欧几里得环。

例:

整数环是欧几里得环， $\delta:Z^* \rightarrow N \cup \{0\} , \delta(m) = |m|$

数域p上的一元多项式环 $P [x]$ ， $\delta :P[x]^* \rightarrow N \cup\{0\},\delta(f(x))=deg(f(x)),f(x)\neq 0$

$Z[\sqrt{-1}]:\{a+b \sqrt{-1}|a,b \in Z\}$ 是欧几里得环， $\delta (a+b\sqrt{-1})=a^2 +b^2$

性质

1）欧几里得环是主理想整环，进而是唯一析因环。

2）对于欧几里得环R，可以定义辗转相除法

设 $\in R^*$ ，不妨设 $\delta(a) \ge \delta(b)$ ，令 $a_1 =a ,a_2=b,a_1 = qa_2+a_3$ ，其中 $a_3=0$ 或者 $\delta(a_3) < \delta(a_2)$ 。
若 $a_3 =0$ ，则 $a_2$ 是 $a_1,a_2$ 的最大公因子，若 $a_3 \neq 0$ ， $a_2 = q_1a_3+a_4$ 。
其中 $a_4=0$ 或者 $\delta(a_4) < \delta(a_3)$ ，重复上面的过程 $\delta(a_1)\ge \delta(a_2)\ge \delta(a_3)....$ 在有限步终止，有 $a_n \neq 0，而a_{n+1}=0$
$a_n$ 是 $a, b$ 的最大公因子