直观理解链式法则和乘积法则

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必要性：
在将世界模型化的时候，需要或多或少地混合、组合、微调一些简单函数；因此我们需要理解，这些更加复杂的组合如何求导。

1. 三种组合函数的基本方式

（1）函数相加[减]
（2）函数相乘[除]
（3）函数复合[函数嵌套]

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2. 组合函数的求导法则

（1）加法法则

两个函数的和的导数就是这两个函数的导数之和。

从几何上去理解求导运算的加法法则的含义

• 根据图示，黄色曲线是将两个函数sinx和x²进行相加得到的，自变量增加一个dx，在黄色曲线上相应会增加一段高度df。
• 同理，自变量增加一个dx；两条单独曲线会相应增加一段高度，分别为d(sinx)和d(x²)
• 求导的加法法则的本质含义就是df代表的总高度就是两段小高度之和。

（2）乘法法则

我们同样可以通过对微小变化量的思考来进行导数乘法法则的理解。

但是在处理乘积的时候，最理想的可视化方法已经不再是图像，而是图形面积。

1. 函数的乘积

两个函数乘积的求导法则：“左乘右导加上右乘左导”

从几何意义上去理解函数乘积的求导法则


图解：

• 一个矩形的长和宽分别为sinx和x²，这就说明当x在右下角的数轴上进行变化的时候，长和宽分别按照sinx和x²的轨迹进行变化。
• 当x取了某一个微小变量dx的时候，相应地，矩形的面积就会从原来的黄色，再增加图示的红色和绿色部分。
• 根据面积的拆解，我们可以将增加的面积df分成三个部分，并写出其表达式（这个步骤和当初求解x²的导数是一样的）。
• 同样地，因为红色部分的面积是微小变化的二阶表达式，可以忽略不计，所以可以推导得到函数乘积的求导法则。

2. 函数的数乘

一个函数的数乘的导数就等于这个函数的导数的数乘倍数

（3）函数的复合

链式法则

两层复合函数的导数就等于外层函数在内层函数值处的导数值乘以内层函数在自变量处的导数值。

• 整个求导过程从外向里逐渐推进
• 要注意在不同层次位置进行求导时，自变量的含义

几何意义理解链式求导法则

示例：复合函数——sin(x²)

三条数轴分别对应了不同的映射，从x到x²的映射，从x²到sin(x²)的映射。

p.s.这里第二条数轴到第三条数轴，可以把x²整体先看做是一个变量h，那么第二条数轴到第三条数轴的映射也可以看成是从h到sinh的映射。

• 根据下图，第一条数轴代表的自变量进行的微小变化，自然会按照x²的导数规则在第二条数轴上进行相应的变化。
• 而第二条数轴上h的微小变化，也会按照sinh的导数规则在第三条数轴上引起相应的变化。

链式求导符号表示

可以把链式求导法则理解成逐一对中间变量进行求导，最后中间变量处在分子和分母的微元都可以被消去，则得到了最终函数关于自变量x的导数。

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后记

1. 建立对于加法、乘法、链式求导法则的直观印象，有助于我们对微积分运算的理解，但这永远不能替代运算练习。

2. 本博客是观看B站《微积分的本质》系列公开课的随课笔记。
   原视频链接见下——
   直观理解链式法则和乘积法则