1.dy的定义

在介绍什么是dy之前，先回顾一下之前的一些概念：
设，$$y=f(x)$$,
若:$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=0$$
则：函数在$x_0$处连续，
若：$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$存在，则函数在$x_0$处可导。

考虑下面这种情况，

在更一般的情况下，也是这样，在$x_0$处，我们定义如下：
若$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$,其中A是与$\Delta x$无关的常数，则称f（x）在$x_0$处可微，$A\Delta x$称为函数在$x_0$处的微分。记作$$dy=A\Delta x$$

其实，我们从上面的图里面也可以看到，$A\Delta x$也就是图中画阴影的部分，已经相当接近$\Delta y$了

2.可微与可导的关系

我自第一次学这门课到现在，一直知道对于一元函数来讲，可微与可导是一样的。
可导的定义我们非常熟悉，可微的概念我们也介绍了，下面我们推导一下，这两者究竟有什么关系

因此，我们发现了，可微与可导是等价的，且可微定义里面的这个常数A其实就是在那个点的导数$f\prime (x_0)$。

3.dy的几何意义

如上图。请务必记住下面这句话：

$\Delta y$是函数y在$x_0$处的增量
$dy$是函数y在$x_0$处沿着切线的增量

这种思想我们以后也会经常遇到，在一个点的局部拿切线去近似这个曲线。

4.微分的运算法则

5.dy再探索

若函数$y=f(x)$在x=$x_0$处可微，则有$$dy=f\prime (x_0)\Delta x$$

看下式$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{dy}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{f\prime (x_0)\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\prime (x_0)}{f\prime (x_0)}=1$$

我们都知道，$\Delta y$与dy都是当$\Delta x$趋于0时的无穷小，由上式可以看出两者是等价无穷小。
此时我们再看导数除了定义的另一种表达：$$\frac{dy}{dx}=f\prime (x)$$
由此式可以看出，导数是两个微分的商，因此，导数又称微商

6.线性近似

由第五节的推导可以看出，在$\Delta x$趋于0时，$$dy\approx \Delta y$$
即：$$f\prime (x_0)\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
令$x=x_0+\Delta x$,也即：$$f\prime (x_0)(x-x_0)=f(x)-f(x_0)$$
移项得：$$f\prime (x_0)(x-x_0)+f(x_0)=f(x)$$
由此我们引入了几个常用的线性近似（通常在x=0时）。

为上一句的“由此”注解，其实我们也可以由导数的定义得到此近似
$$\underset{x\to x_0}{\lim }=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\prime (x_0)$$
移项得$f(x)\approx f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)$

在$x_0=0$附近，有下列式子：
$$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{1}{n}x$$
$$\sin (x)\approx x$$
$$\tan (x)\approx x$$
$$e^x\approx x+1$$
$$ln(1+x)\approx x$$

注意区分上述式子与等价无穷小的区别，如$e^x\approx x+1$在x=0处便不是无穷小量。

本文到此结束，感谢读者耐心读完。