引言

我们都知道，冲激函数的傅里叶变换是一个单频的三角函数，所以从书上看到“冲激串函数的傅里叶变换还是冲激串函数”这个结论的时候非常震惊。从直觉上看，冲激串函数的傅里叶变换应该是一串三角函数，知乎上也有一个网友发出了相同的疑问，但是以"不构成疑问"的方式被关闭了。那么到底是怎么回事呢？

原始解法

百思不得其解，我就百度了一下，看到了这样一个解法。这个解法看起来非常的不自然，但本身好像也没有逻辑错误。那么引言中的想法到底哪里出了问题呢？

我的思考

我们先来观察一下这四个式子。
原式
$$s_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$$
化成傅里叶级数之后的结果
$$s_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{j2\pi \frac{n}{T}t}$$
原式的傅里叶变换
$$S_{\Omega }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }$$
化成傅里叶级数之后的结果的傅里叶变换
$$S_{\Omega }(\omega )=\Omega \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -n\Omega )$$
其中$\omega T=1$，为了形式更对称，我就在时域和频域使用了不同的记号。稍加观察就能发现，它们的形式存在一定的对称性。如果原始解法中用一些技巧把原式转化成傅里叶级数，那我们也可以用同样的道理把最后一个式子化成倒数第二个的那种模样。 为了证明思路的完整性，我还是把它照猫画虎地写在下面。
考虑$S_{\Omega }(\omega )$的傅里叶级数，有如下形式
$$S_{\Omega }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }$$
其中$$c_n=\frac{1}{\Omega }{\int }_{-\Omega /2}^{\Omega /2}{S}_{\Omega }(\omega )e^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }d\omega$$
代入$S_{\Omega }(\omega )$的形式可得
$$c_n=\frac{1}{\Omega }{\int }_{-\Omega /2}^{\Omega /2}\Omega \sum _{m=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -m\Omega )e^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }d\omega$$
利用冲激函数的定义不难得出，上式中只有$m=0$的这一项对积分有贡献，因此积分化简为
$$c_n=\frac{1}{\Omega }{\int }_{-\Omega /2}^{\Omega /2}\Omega \delta (\omega )e^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }d\omega$$
再次利用冲激函数的定义，可得
$$c_n=\frac{1}{\Omega }\Omega e^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }0}=1$$
带回傅里叶展开式中，即可得
$$S_{\Omega }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{-j2\pi \frac{n}{\Omega }\omega }$$
与另一种方式获得的结果形式一致。由于n的取值是关于原点对称的，所以指数上没有特别区分一开始的正号和负号，若有弄错还请谅解。这是将结果的冲激串函数形式转化回了我们自然获得的三角函数形式，如果是想顺着做，也就是把自然获得的三角函数形式化成冲激串函数的形式也是可以逆着这个步骤一步一步拼凑、构造出来的，是没有问题的。

另

知乎上另一个提问的和高赞回答提到了傅里叶变换的条件。如果如上推导是正确的，那是否是这个说法存在问题呢（逃。当然也有可能是巧合，就是虽然不符合条件但是是对的。欢迎朋友们一起讨论。