控制中的一些概念

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优化和控制中的一些概念

前言

一些琐碎概念，，

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一、什么是向量场流形

向量场流形是一种数学概念，指的是一个空间中的每个点都有一个向量场，这个空间可以被视为一个流形。简单来说，流形是一个可以通过拓扑和微积分方法进行研究的对象，而向量场是一个描述空间中每个点的方向和大小的对象。

具体来说，向量场流形可以用数学语言描述为一个二元组 $(M,X)$，其中 $M$ 表示流形，$X$ 表示在 $M$ 上定义的一个光滑向量场。这个向量场可以被理解为一个将每个点映射到该点的切空间上的向量的函数。

向量场流形在物理学、几何学、拓扑学等领域中都有广泛的应用。在物理学中，它们常常用于描述物体的运动和力场；在几何学中，它们用于描述曲面的切向量场和黎曼流形上的李群作用等；在拓扑学中，它们用于研究拓扑流形上的向量场的分类和不变量等。

二、什么是不变流行

不变流形（Invariant manifold）是一类与动力学系统相关的概念，它指的是系统状态空间中的一个子集，在该子集中的状态经过系统演化后仍然保持在该子集中。具体来说，一个不变流形是指满足以下两个条件的流形：

在系统状态空间中，它是一个连续的、闭合的、且不会发生变形的子集；
对于任意一个属于该流形的初始状态，其在系统演化后仍然保持在该流形内部。
不变流形的概念在动力学系统中有广泛应用。例如，不变流形可以用来描述一个稳定点、周期轨道或者混沌吸引子周围的局部结构。通过研究不变流形的性质，可以得到有关系统演化的重要信息，例如系统的稳定性、周期轨道的存在性和数量、相空间的可积性等等。

在实际应用中，为了研究不变流形，常常需要使用数值计算和数学工具进行分析和求解。例如，可以使用数值积分来计算系统的演化轨迹，并通过局部不动点或者特征向量等信息来确定不变流形的性质。此外，还可以使用微分几何和拓扑学的方法来分析不变流形的性质和拓扑结构。

三、the backward reachable set of the goal state 0

“the backward reachable set of the goal state 0” 是指在一个动态系统中，所有能够反向到达目标状态0的状态集合。

具体来说，动态系统通常由一个状态空间、一个时间域和一个状态转移函数组成。在该系统中，一个初始状态会根据状态转移函数沿着时间轴向前演化，直到达到某个终止状态。而反向可达性分析是一种逆向的分析方法，它从目标状态出发，通过追溯系统的历史状态来确定能够到达该目标状态的所有可能初始状态。

在反向可达性分析中，我们考虑一个固定的目标状态0，并寻找所有能够反向到达该状态的初始状态集合。这个集合被称为目标状态0的反向可达集合。该集合通常可以通过正向演化的方式进行计算，即从目标状态出发，不断逆推演化过程，得到能够到达该状态的所有初始状态。

目标状态0的反向可达集合在控制系统、规划、决策等领域中有广泛应用。例如，在路径规划问题中，反向可达性分析可以用来确定机器人能够从目标位置出发到达哪些起始位置；在控制系统中，反向可达性分析可以用来设计控制器，以确保系统能够在给定时间内到达目标状态。

四、什么是可达集

可达集（Reachable Set）是指在一个动态系统中，从给定的初始状态出发，经过系统的演化，所能够到达的所有状态的集合。具体来说，可达集是指满足以下条件的状态集合：

该集合中包含初始状态；
该集合中的任意一个状态都可以通过系统演化从初始状态到达；
该集合中的所有状态都是由初始状态通过有限次系统演化得到的。
可达集在控制理论、机器人路径规划、状态估计等领域中有广泛应用。例如，在机器人路径规划中，可达集可以用来确定机器人在给定时间内能够到达的所有位置；在状态估计中，可达集可以用来确定给定观测数据下，系统状态可能的范围。此外，在控制系统中，可达集也可以用来设计控制器，以确保系统能够在给定时间内到达某个状态。

可达集通常可以通过数值计算的方法来求解。例如，可以使用数值积分来计算系统的演化轨迹，并根据初始状态和演化时间确定可达集。此外，也可以使用符号计算的方法来求解可达集的边界，例如使用哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）等。对于非线性系统，通常需要使用数值方法来求解可达集。

五、什么是半代数集

半代数集（Semi-algebraic Set）是指由有限个实多项式的零点集合构成的实数集合。具体来说，对于给定的实多项式 $f_1(x),f_2(x),...,f_m(x)$，半代数集 $S$ 定义为：

$S=x\in {\mathbb{R}}^n|f_1(x)=0,f_2(x)=0,...,f_m(x)=0$

其中 $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ 是 $n$ 维实向量。

半代数集在代数几何、计算几何、自动机理论、控制理论等领域中有广泛应用。例如，在计算几何中，半代数集可以用来表示和计算多项式曲线的交点和切点；在自动机理论中，半代数集可以用来描述和计算自动机的语言性质；在控制理论中，半代数集可以用来描述和计算控制系统的可达集和不变集。

半代数集的性质十分重要，其中一个重要的性质是 Bézout 定理。Bézout 定理指出，对于任意两个实多项式 $f(x),g(x)$，它们在半代数集 $S$ 上的零点个数的上界是它们的次数之积，即：

$|f(x)g(x)|\le \mathrm{deg}(f)\mathrm{deg}(g)$，对于所有 $x\in S$

这个定理在计算几何中非常重要，因为它保证了在半代数集上求解多项式曲线的交点时，计算次数的上界是可控的。此外，半代数集的几何性质也受到广泛研究，例如，它们可以表示为有限个拓扑流形的交、并、差和投影等基本运算的组合。

六、Positivstellensatz

Positivstellensatz是一种数学定理，它关于实多项式环上的多项式的非负性进行了研究。它的名字来自德语，意思是“正项展开定理”。

具体来说，Positivstellensatz可以表述为：对于实多项式环上的任意多项式$f_1,\dots ,f_m\in \mathbb{R}[x_1,\dots ,x_n]$，存在一组实数$s_1,\dots ,s_r$和多项式$g_1,\dots ,g_r\in \mathbb{R}[x_1,\dots ,x_n]$，使得对于任意实数$x_1,\dots ,x_n$，如果$f_1(x_1,\dots ,x_n)\ge 0,\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)\ge 0$，则存在实数$t_1,\dots ,t_r$，使得$g_1(x_1,\dots ,x_n{)}^2+\cdots +g_r(x_1,\dots ,x_n{)}^2=t_1{f}_1(x_1,\dots ,x_n)+\cdots +t_m{f}_m(x_1,\dots ,x_n)$且$t_1,\dots ,t_m\ge 0$。

简单来说，Positivstellensatz可以将实多项式的非负性问题转化为多项式方程的解的存在性问题。这个定理在代数几何、实数不等式等领域有着广泛的应用。

七、闭包

集合的闭包指的是包含集合中所有限制条件下的极限点的最小闭集。也就是说，对于一个集合 $S$，它的闭包是一个最小的闭集 $B$，满足 $S$ 中所有限制条件下的极限点都属于 $B$。

具体来说，对于一个集合 $S$，其闭包可以表示为 $\overline{S}$，它可以通过以下两种方式定义：

$\overline{S}$ 是包含 $S$ 的所有闭集的交集。
$\overline{S}$ 是 $S$ 与其极限点的集合的并集。
其中，极限点是指集合中任意数列可以趋近的点，但不一定属于集合本身。

闭包是一个非常重要的概念，在数学和计算机科学等领域中都有广泛的应用，例如在拓扑学、函数分析、数据库理论等方面。

八、control-affine dynamic

这个概念是指的是用于描述一般非线性系统的动态方程：

$\dot{x}(t)=f(x(t))+g(x(t))u(t)$

其中，$x$ 是系统状态向量，$u$ 是外部输入向量，$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别是状态向量的某些函数，被称为基础向量场和控制向量场。基础向量场描述了系统在不同状态下的局部动态特性，控制向量场表示外部输入如何影响系统的动态行为。

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总结

一些控制中的基础概念，搞不清真的是看不懂文献…