目录

一. 同态的基本定义

1.1 加法同态

1.2 乘法同态

1.3 乘法单位元相等

二. 同态的理解

三. 反例

四. 环同态举例

五. 环基础补充

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一. 同态的基本定义

令R和S代表两个环（ring），同态可以简单理解成从R到S的某种映射，如下：

接下来我将通过几个性质来解释下到底什么叫同态。

1.1 加法同态

从环R中随机抽取两个元素x与y，同态性质可得：

等式左边：x与y在环R内先做加法运算，再做同态运算，即可映射到环S中

等式右边：先对x做同态运算，映射到环S中；接着对y做同态运算，映射到环S中；最后再环S内做加法运算

同态告诉我们，加法和映射的顺序可以对调，两者结果相等。

1.2 乘法同态

等式左边：x与y在环R内先做乘法运算，再做同态运算，即可映射到环S中

等式右边：先对x做同态运算，映射到环S中；接着对y做同态运算，映射到环S中；最后再环S内做乘法运算

同态告诉我们，乘法和映射的顺序可以对调，两者结果相等。

1.3 乘法单位元相等

代表环R内的乘法单位元，代表环S内的乘法单位元。同态要求映射前后单位元保持不变，也就是：

二. 同态的理解

如果映射前后的环是一样的，也就是R=S，那么此时可以称之为identity homomorphism，数学形式表达为：

同态有的时候会区分群同态和环同态。

通常，环R和S在加法运算下均为abelian群，所以环同态也是群同态（group homomorphism），那么在加法单位元也是维持一样的，也就是：

三. 反例

定义从一维整数集合映射到二维整数集合，如下：

映射规则定义为：

很明显这种映射关系满足如上的前两个性质，那么他是同态吗？

两个集合的乘法单位元显然不是一样的，也就是的乘法单位元是(1,1）。

所以这种映射不是同态。

跟群同态类似，两个环同态联合（composition）依旧是环同态。

同态满足双射（bijective）的性质。如果映射前与映射后均为同一个环R时，则称之为自同态（endomorphism）。满足自同态运算性质的则称之为自同构（automorphism）。

四. 环同态举例

（1）

从Z到Q的映射，称之为包含映射（inclusion map），即为环同态。

（2）

类似，从Q到R，从R到C，都可以称之为环同态。或者跳跃式结合也是对的。

（3）

从Z到Z/mZ的映射可以理解为：

这也是一种环同态。

更形象，这种又被称之为投影同态（projection），或者归约（reduction）同态。

（4）

恒等映射（identity map）就是从一个环映射到自己本身，这也是环同态，也是自同构（isomorphism）。

（5）

复数中有一种复共轭运算（complex conjugation），映射前范围是C，映射后范围也是C。映射元素为a+bi，映射后元素变为a-bi，这也是环同态。

很显然这是一种自同构，但不是恒等映射，也被称之为non-trivial automorphism，这个概念在Galois理论中非常重要。
（6）

映射前的集合为全体实数R，映射后的集合为3维矩阵，矩阵中的每个数均为实数，记作

映射前的元素为：

映射后的元素为：

推广到一般情况下，该映射对任意的n均成立，也就是：

（7）

在刚才的例子中，矩阵中每个位置均为实数，其实可以是任意环R，也可以是任意有限环（finite ring），格式类似于Z/mZ

（8）

给定任意环R，再从环R中抽取一个元素r，如下：

可定义一种同态运算如下：

映射之前是一个多项式环，也就是：

下标的r，代表把r带入到该多项式中，也就运算得到环内的一个元素，即：

（9）

如果刚才多项式中x的取值为虚数单位i，那么可以形成新的同态运算，如下：

映射之前是一个多项式，且系数均为实数，也就是：

将虚数i带入后，结果可运算得到复数，也就是：

举个例子，如果多项式是，那么同态运算可以将其变为0

（11）

假定有两个环R和S，定义一种换上投影映射，简称为pr，如下：

简单理解就是，映射前的元素为：

映射后的元素是一维的：

这种映射有点类似于保留了第一个维度，那么相对应的，也可以是保留第二个维度，如下：

以上同态，称之为projection homomorphisms.

五. 环基础补充

我们知道群（group）内需要定义一种二元运算（binary operation），且需要满足三个性质。所以，完整的群可以写做：

比如在整数范围内的加法运算，就很符合群的基本性质，如下：

（Z，+）

众所周知，整数内也可以进行乘法运算，所以可得：

由此处的乘法运算，变得到了有关环（ring）的理解。

有关环的基本定义就比较简单了，我就直接给出官方说法了：

Definition. A ring is a set R with two binary operations, +, called addition, and ×, called multiplication, such that:

1. R is an Abelian group under addition.

2. R is a monoid under multiplication (inverses do not necessarily exist).

3. + and × are related by the distributive law

第二个monoid指的是幺半群，也就是环内需要包含乘法单位元。

第三个性质中的分配律，可以写做：