平衡二叉树的平衡因子只会有三种值：-1，0，1。 在平衡二叉树插入或者删除一个结点时，很可能破坏其平衡性，为了调整平衡性，因此需要执行旋转。

平衡因子

平衡因子：某结点左右子树的高度差值
【例】如下图

一个结点的平衡因子=该节点左子树深度-该节点右子树深度
于是：
5的结点平衡因子就是 3 - 2 = 1；
2的结点平衡因子就是 1 - 2 = -1；
4的结点平衡因子就是 1 - 0 = 1；
6的结点平衡因子就是 0 - 1 = -1；
叶子结点没有子树，于是叶子结点的平衡因子都是0

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平衡二叉树和不平衡的二叉树的对比：

对于平衡二叉树产生了不平衡之后，如何进行平衡调整？
注意：每次都是按照最小不平衡子树进行调整

LL平衡旋转

当在某个结点的左孩子的左子树新插入了结点，需要进行LL平衡旋转，向右旋

如下图：（方框部分是对子树进行了抽象封装，同时这些子树的高度都是H，并且假设它们都是平衡的，下同）

上图说明：
(a) 初始状态是平衡状态，A，B结点的平衡因子分别是1，0；并且它们之间有一个潜在的大小关系：BL < B < BR < A < AR
(b) B的左子树插入了一个结点，导致A结点的平衡因子变为2，此时不满足二叉平衡树的要求（平衡因子只能是-1，0，1）
由于A结点的平衡因子为2，说明左边大，右边小，为了保持平衡，需要右旋。

执行右旋后，B结点的右子树会变成A结点的左子树，使得仍然满足大小关系：BL < B < BR < A < AR

＊注意二叉排序树的特性：左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值

( c ) 由于B的左子树增加了一个结点，使得高度加了1，此时B的平衡因子为0，又重新变成了平衡二叉树。

【例】如下图

插入9之后，变得不平衡，找到最小不平衡子树，由于不平衡发生在15结点的左孩子的左子树，于是需要对15的左孩子10执行LL平衡旋转，即向右旋，10替换15的位置，将15变成10的右孩子

RR平衡旋转

当在某个结点的右孩子的右子树插入了结点，需要进行RR平衡旋转，向左旋

B结点左旋到A结点的位置，为保证各节点大小顺序不变，B的左子树变为A的右子树

【例】

如上图所示，插入结点90后，产生了不平衡，于是先找到最小不平衡子树

由于不平衡发生在以66为根结点的右孩子的右子树，因此需要执行RR平衡旋转，即就是向左旋。

让不平衡结点66的右孩子68左旋，68替代66，为保证各结点的大小顺序不发生改变，将68的左孩子变成你66的右孩子。

LR平衡旋转

当在某个结点的左孩子的右子树插入了结点，需要进行LR平衡旋转，先向左旋，再向右旋

如上图所示，先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，将C的左子树变为B的右子树；

然后再把C结点向右旋转提升到A结点的位置，将C的右子树变为A的左子树

调整过后需要满足：BL<B<CL<C<CR<A<AR
【例1】

如上图所示，插入结点 57之后发生了不平衡，

最小不平衡子树为整颗树，发生不平衡的位置是 66 结点的左孩子 50 的右子树，因此需要执行LR平衡操作，针对 50 的右结点 60 先左旋，60 替代 50，50成为 60 的左孩子，原本可以60的左子树成为 50 的右子树

接下来右旋 ，60 代替 66 ，将 60 的右孩子变为66的左孩子

［例2］

最小不平衡子树如虚线框所示，发生在75这一结点，原因是75的左孩子38插入了右结点，因此执行LR旋转 ，找到 75 左孩子38的第一个右孩子 51，先左旋，51 提换 38，51没有子树不用为子树重新定位 ，然后 51 再右旋，51 替换 75，75 成为51的右孩子

RL平衡旋转

当在某个结点的右孩子的左子树插入了结点，需要进行RL平衡旋转，先向右旋再向左旋

先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右旋转提升到B结点的位置，将C的右子树变为B的左子树；

然后再把C结点左旋提升到A结点的位置，将C的左子树变为A的右子树；

调整过后需要满足：AL<A<CL<C<CR<B<BR
【例】

插入结点 63 后，最小不平衡树仍然是整颗树，不平衡情况发生在50的右孩子的左子树 ， 因此需要执行RL平衡旋转


先对结点 66 先进行右旋，66 替换 68，66的右孩子 67 成为 68 的左孩子；
然后对 66 左旋 ，66 替换 50，66 的左孩子成为 50 的右孩子；
熟练之后可以一步到位，如上图所示，66 的左子树直接给 50，右孩子直接给68, 66 往上提

为什么要按“最小不平衡子树”进行调整?

插入操作导致某个子树高度+1，当调整这个不平衡子树后，高度恢复为原来的高度后，重新恢复到平衡，其它祖先结点也自然恢复到了平衡