一、相机模型

1、相机与图像

  下图中如何从P到P’? 这是一个三维转二维的过程。

针孔相机模型存在四个坐标系：世界坐标系、摄像机坐标系、图像物理坐标系和图像像素坐
标系。
假设：
• 世界坐标系的坐标为Pw(Xw,Yw,Zw)，
• 对应的摄像机坐标系坐标为Po(x,y,z)，
• 对应的图像物理坐标系的坐标为P’(x’,y’)，
• 对应的图像像素坐标系的坐标为p(u,v)。

2、坐标系

世界坐标系：是客观三维世界的绝对坐标系，也称客观坐标系。就是物体在真实世界中的坐标。世界坐标系是随着物体的大小和位置变化的，单位是长度单位。

相机坐标系：以相机的光心为坐标系的原点，以平行于图像的x和y方向为x轴和y轴， z轴和光轴平行， x，y， z互相垂直，单位是长度单位。

图像物理坐标系：以主光轴和图像平面交点为坐标原点， x’和y’方向如图所示，单位是长度单位。

图像像素坐标系：以图像的顶点为坐标原点， u和v方向平行于x’和y’方向， 单位是以像素计。

相机成像：

3、世界坐标系到摄像机坐标系

这两个坐标系之间除了旋转矩阵R，还存在平移矩阵t。其关系可表示为：

R 、t 、0T都是矩阵
欧式变换：欧氏变换由两部分组成：旋转R 平移t


齐次坐标：
  多次连续的旋转和平移的情况下。假设我们将向量a进行了两次欧氏变换，旋转和平移分别为R1, t1 和 R2， t2，分别得到：

b = R1*a + t1, c = R2*b + t2 ===>> c = R2*(R1*a + t1) + t2

这样下去公式会越来越长，我们可以用矩阵的形式进行表达：

4、摄像机坐标系到图像物理坐标系

相似三角形：

将Zc移到等式左边，并构建齐次坐标，然后将上述公式转为矩阵的形式：

5、图像物理坐标系到图像像素坐标系

dx和dy表示： x方向和y方向的一个像素分别占多少个（可能是小数） 长度单位。
齐次坐标下：

6、摄像机坐标系到图像像素坐标系

7、世界坐标系到图像像素坐标系

K表示相机的内参矩阵，设定好的；R、t表示相机的外参矩阵，随拍摄的图片而变化

  上述内容所讲的相机模型是指图像处理过程中计算需要用到的，而非真正的照相机在照相的过程，真正的照相机成像是光学原理进行成像的.

二、 镜头畸变

1、相机成像原理

2、镜头畸变

➢ 透镜由于制造精度以及组装工艺的偏差会引入畸变，导致原始图像的失真。
➢ 镜头的畸变分为径向畸变和切向畸变两类。

r表示半径

径向畸变：沿半径方向的畸变

由透镜的形状引起的畸变称为径向畸变，透镜径向畸变后点位的偏移示意图如下所示

➢ 枕形畸变
➢ 桶形畸变

切向畸变：沿切线方向形成的畸变

  切向畸变是由于透镜本身与相机传感器平面（成像平面）或图像平面不平行而产生的。这种情况多是由于透镜被粘贴到镜头模组上的安装偏差导致，较少见，一般都是机器安装的，很少出问题。切向畸变示意图：

3、畸变矫正

• 径向畸变和切向畸变模型中一共有5个畸变参数，在Opencv中他们被排列成一个5*1的矩阵，依次包含k1、k2、 p1、 p2、 k3，经常被定义为Mat矩阵的形式，如Mat distCoeffs=Mat（1,5， CV_32FC1， Scalar::all（0））；

• 这5个参数就是相机标定中需要确定的相机的5个畸变系数。

• 求得这5个参数后，就可以校正由于镜头畸变引起的图像的变形失真。这些参数在相机生产出来后就确定了，是可以得到的，在日常应用中一般都是已知的，相机标定中给定的。此外，也可通过矫正前的图像与矫正后的图像进行计算得到。


摄像中广角的原理类似将正常的图像变为畸变，使画面的内容变多。

三、透视变换

1、定义及算法流程

  透视变换是**将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。**我们常说的仿射变换是透视变换的一个特例。

  透视变换的目的就是把现实中为直线的物体，在图片上可能呈现为斜线，通过透视变换转换成直线的变换。

  仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），又称为仿射映射，是指在几何中，图像进行从一个向量空间进行一次线性变换和一次平移，变换为到另一个向量空间的过程。

  通用的变换公式为：这里的原始图片是带有畸变的，即x,y表示的图片

  下式中的X,Y是原始图片坐标（上式的x,y）， 对应得到变换后的图片坐标（X’;Y’;Z’）其中Z’=1：

  一般地，我们令a33=1，展开上面公式，得到一个点的情况：

源点四个顶点坐标分别为A：（x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
目标点四个顶点坐标分别为B： (X’0,Y’0),(X’1,Y’1),(X’2,Y’2),(X’3,Y’3)

将这八个点代入方程，并将其转换为矩阵相乘的格式：

上图中，点的坐标都是已知的，未知的只有warpMatrix中的元素的值，可通过解方程得到这些元素的值。

2、示例代码

根据上述算法过程实现代码：

import numpy as np
 
def WarpPerspectiveMatrix(src, dst):
    assert src.shape[0] == dst.shape[0] and src.shape[0] >= 4
    
    nums = src.shape[0]
    A = np.zeros((2*nums, 8)) # A*warpMatrix=B
    B = np.zeros((2*nums, 1))
    for i in range(0, nums):
        A_i = src[i,:]
        B_i = dst[i,:]
        A[2*i, :] = [A_i[0], A_i[1], 1, 0, 0, 0,
                       -A_i[0]*B_i[0], -A_i[1]*B_i[0]]
        B[2*i] = B_i[0]
        
        A[2*i+1, :] = [0, 0, 0, A_i[0], A_i[1], 1,
                       -A_i[0]*B_i[1], -A_i[1]*B_i[1]]
        B[2*i+1] = B_i[1]
 
    A = np.mat(A)
    #用A.I求出A的逆矩阵，然后与B相乘，求出warpMatrix
    warpMatrix = A.I * B #求出a_11, a_12, a_13, a_21, a_22, a_23, a_31, a_32
    
    #之后为结果的后处理
    warpMatrix = np.array(warpMatrix).T[0]
    warpMatrix = np.insert(warpMatrix, warpMatrix.shape[0], values=1.0, axis=0) #插入a_33 = 1
    warpMatrix = warpMatrix.reshape((3, 3))
    return warpMatrix
 
if __name__ == '__main__':
    print('warpMatrix')
    src = [[10.0, 457.0], [395.0, 291.0], [624.0, 291.0], [1000.0, 457.0]]
    src = np.array(src)
    
    dst = [[46.0, 920.0], [46.0, 100.0], [600.0, 100.0], [600.0, 920.0]]
    dst = np.array(dst)
    
    warpMatrix = WarpPerspectiveMatrix(src, dst)
    print(warpMatrix)

调用opencv库实现：

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('photo1.jpg')

result3 = img.copy()

'''
注意这里src和dst的输入并不是图像，而是图像对应的顶点坐标。
'''
src = np.float32([[207, 151], [517, 285], [17, 601], [343, 731]])
dst = np.float32([[0, 0], [337, 0], [0, 488], [337, 488]])
print(img.shape)
# 生成透视变换矩阵；进行透视变换
m = cv2.getPerspectiveTransform(src, dst)
print("warpMatrix:")
print(m)
result = cv2.warpPerspective(result3, m, (337, 488))
cv2.imshow("src", img)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey(0)

注：本文章参考了百度百科、他人技术博客、八斗学院课件资料、计算机视觉书籍等综合整理而来，如有侵权，联系删除！水平有限，欢迎各位指导交流！