(1)偏微分方程的类型(二阶)

$$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+b\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+d\frac{\partial u}{\partial x}+e\frac{\partial u}{\partial y}+fu+g=0$$

• $b^2-4ac<0$ 椭圆
• $b^2-4ac=0$ 抛物线
• $b^2-4ac>0$ 双曲线

(2)抛物线型

1.显式法

• 求解思想：通过差分的方法一排一排向上推。
• 做划分并代入方程$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}(\Delta x=h,\Delta t=k)$$
• 通过化简得到$$u_{i,j+1}=r{u}_{i-1,j}+(1-2r)u_{i,j}+r{u}_{i+1,j}(r=\frac{k}{h^2})$$
• 具体推的步骤大概如下：
  • 由于已知 $u(x,0)=f(x)$，因此相当于知道 $u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots$。
  • 通过上面的公式就可以推出来 $u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1}\dots$，注意由于已知左边界和右边界，因此$u_{0,1}$也知道，所以第二排就可以全部推出来。
  • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。

2.Crank-Nicholson隐式算法

• 求解思想：也是一排一排向上推，但是这次是使用线性方程组一次性求出一排。
• 这里采用相同的划分方式，但是代入不同的差分方程

• 通过化简得到

• 具体推的步骤大概如下：
  • 由于已知 $u(x,0)=f(x)$，因此相当于知道 $u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots$。
  • 通过上面的公式就可以推出来方程$$-r{u}_{i-1,1}+(2+2r)u_{i,1}-r{u}_{i+1,1}=c(c是一个常数)$$，注意由于已知左边界和右边界，所以这个其实就转化成在一维上的差分问题，最后列出全部的方程构成方程组求解即可。
  • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。
• 一个例子：

• 做划分并且代入差分方程
  取$k=0.01,h=0.1$
  $$-u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}-u_{i+1,j+1}=u_{i-1,j}+u_{i+1,j}$$
• 进行求解(这里利用了对称性，在 $x=0.5$ 两边是对称的，将$j=0$隐去，并根据对称性将$u_6$替换成$u_4$)

(3)双曲线型

• 得到的差分方程为 ($r=\frac{k}{h}$注意和之前的定义不同)：

• 划分需要满足一定的条件$$\frac{k}{h}\le \frac{1}{c}$$
• 具体求解按照之前类似的方法即可。

(4)椭圆型

• 得到的差分方程为 (这里取$k$和$h$相等)：

• 求解
  • 可以采用类似之前的隐式或者显式方法求解。
  • 可以采用迭代法求解，比如雅克比迭代，转换成下面的迭代式