欧式距离/欧几里得度量（Euclidean Distance）

欧氏距离就是两点之间最短的直线距离。
（1）二维空间里A、B两点间的欧式距离：
$$S_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}$$
（2）推广到$n$维空间内的两点$P、Q$：
$$P=(x_1^P,x_2^P,...,x_n^P),Q=(x_1^Q,x_2^Q,...,x_n^Q)$$
$P、Q$点间的欧式距离：
$$S_{PQ}=\sqrt{(x_1^P-x_1^Q{)}^2+(x_2^P-x_2^Q{)}^2+...+(x_n^P-x_n^Q{)}^2}$$
用向量形式${\mathbf{x}}^{\mathbf{P}}、{\mathbf{x}}^{\mathbf{Q}}$表示两个点，两点之间的距离可用L2范数表示：
$$S_{PQ}=\Vert {\mathbf{x}}^{\mathbf{P}}-{\mathbf{x}}^{\mathbf{Q}}\Vert$$
欧式距离的计算代码：

import numpy as np

x1=[1,1]
x2=[2,2]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)

# 直接用公式计算
dist1 = np.sqrt(np.sum((x1_np-x2_np)**2))

# 使用内置范数函数计算
dist2 = np.linalg.norm(x1_np,x2_np)

print(f"d1={dist1},d2={dist2}\n")

曼哈顿距离(Manhattan Distance)

如果乘坐出租车从曼哈顿街头的A路口到B路口，行进距离必须按照路网规则进行移动，而不可能直接穿行。

所以与两点间的直线距离不同，曼哈顿距离指的是“导航距离”。可以用L1范数来表示。

（1）二维空间里$A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)$两点间的曼哈顿距离：
$$S_{AB}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
（2）推广到$n$维空间内的两点$P、Q$：
$$S_{PQ}=\sum _{i=1}^n|x_i^P-x_i^Q|$$
计算代码：

import numpy as np

x1=[1,2]
x2=[5,6]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)

dist3 = np.sum(np.abs(x1_np-x2_np))
print(f"d3={dist3}\n")

余弦相似度

余弦夹角一般用来测量两个样本之间的相似性。常用于图像特征向量之间的相似度比对。

数学上可以通过向量的点积计算两个向量之间的余弦夹角：
$$\cos \theta =\frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$
拓展到$n$维空间的$P、Q$向量：
$$\cos \theta =\frac{{{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}}^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}}{\sqrt{{{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}}^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}}\sqrt{{{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}}^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}}}$$
计算代码：

from __future__ import division#使除法变为精确除法
import numpy as np

x1=[1,2,3,4]
x2=[2,3,4,6]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)

# 直接用公式计算
result1 = np.dot(x1_np,x2_np)/(np.sqrt(x1_np,x1_np)*np.dot(x2_np,x2_np))

# 直接用np内置函数计算
result2 = np.dot(x1_np,x2_np)/(np.linalg.norm(x1_np)*np.linalg.norm(x2_np))

# 计算夹角大小
theta = np.arccos(result1)

print(f"result1={result1},result2={result2},theta={theta}\n")