python编程练习-完美数

 

完美数（又称完全数或完备数）：是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数），恰好等于它本身。

 

性质：

1.完全数都能写成连续自然数之和。

   例如：6=1+2+3；28=1+2+3+...+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。

2.每个完全数的全部因数倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

   例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。

3.除了6以外的完全数，每个都可以表示成连续奇数的立方和。

   例如：28=1³+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……  

   +125^3+127^3。

4.每个完全数都可以表达成2的一些连续正整数次幂之和。

   例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；             

    33550336=2^12+2^13+……+2^24。 

5.完全数都是以6或8结尾的。

6.位数字相加直到变成个位数，这个个位数一定是1。

   例如：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1； 

   33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。

 

 

 

推导公式：

大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是指数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。

例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。

例如p=5，是一个质数，2^p-1=31也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全数。
 

代码求完美数：

#完美数10000以内
for x in range(1,10000):
    sum = 0
    for a in range(1,x):
       
        if x%a == 0 and x != a:
            sum += a
    if sum == x:
        print(x)

输出结果：

6

28

496

8128