四元数与欧拉角（Yaw、Pitch、Roll）的转换

龙行天下01

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龙行天下01 · 2022-11-24 15:54:15 发布

0、简介

四元数与欧拉角之间的转换

百度百科四元素

在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。

本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：

定义 $\psi$ ， $\theta$ ， $\phi$ 分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

一、四元数的定义

q=[w,x,y,z]^T

$\left | q \right |^2 = w^2+x^2+y^2+z^2 =1$

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：

$w=cos(\alpha/2)$

$x=sin(\alpha/2)cos(\beta_x)$

$y=sin(\alpha/2)cos(\beta_y)$

$z=sin(\alpha/2)cos(\beta_z)$

其中α是一个简单的旋转角（旋转角的弧度值），而 $cos(\beta _x),cos(\beta _y),cos(\beta _z)$ 是定位旋转轴的“方向余弦”（欧拉旋转定理）。

利用欧拉角也可以实现一个物体在空间的旋转，它按照既定的顺序，如依次绕z,y,x分别旋转一个固定角度，使用yaw，pitch，roll分别表示物体绕,x,y,z的旋转角度，记为 $\psi$ ， $\theta$ ， $\phi$ ，可以利用三个四元数依次表示这三次旋转，即：

$Q_1=cos(\psi /2 ) +sin(\psi /2) k$

$Q_2=cos(\theta /2 ) +sin(\theta /2) j$

$Q_3=cos(\phi /2 ) +sin(\phi /2) i$

二、欧拉角到四元数的转换

2.1 公式：

2.2 code:

struct Quaternion
{
    double w, x, y, z;
};
 
Quaternion ToQuaternion(double yaw, double pitch, double roll) // yaw (Z), pitch (Y), roll (X)
{
    // Abbreviations for the various angular functions
    double cy = cos(yaw * 0.5);
    double sy = sin(yaw * 0.5);
    double cp = cos(pitch * 0.5);
    double sp = sin(pitch * 0.5);
    double cr = cos(roll * 0.5);
    double sr = sin(roll * 0.5);
 
    Quaternion q;
    q.w = cy * cp * cr + sy * sp * sr;
    q.x = cy * cp * sr - sy * sp * cr;
    q.y = sy * cp * sr + cy * sp * cr;
    q.z = sy * cp * cr - cy * sp * sr;
 
    return q;
}

三、四元数到欧拉角的转换

3.1 公式

可以从四元数通过以下关系式获得欧拉角：

arctan和arcsin的结果是 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ，这并不能覆盖所有朝向(对于 $\theta$ 角 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

3.2 code:

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <cmath>
 
struct Quaternion {
    double w, x, y, z;
};
 
struct EulerAngles {
    double roll, pitch, yaw;
};
 
EulerAngles ToEulerAngles(Quaternion q) {
    EulerAngles angles;
 
    // roll (x-axis rotation)
    double sinr_cosp = 2 * (q.w * q.x + q.y * q.z);
    double cosr_cosp = 1 - 2 * (q.x * q.x + q.y * q.y);
    angles.roll = std::atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);
 
    // pitch (y-axis rotation)
    double sinp = 2 * (q.w * q.y - q.z * q.x);
    if (std::abs(sinp) >= 1)
        angles.pitch = std::copysign(M_PI / 2, sinp); // use 90 degrees if out of range
    else
        angles.pitch = std::asin(sinp);
 
    // yaw (z-axis rotation)
    double siny_cosp = 2 * (q.w * q.z + q.x * q.y);
    double cosy_cosp = 1 - 2 * (q.y * q.y + q.z * q.z);
    angles.yaw = std::atan2(siny_cosp, cosy_cosp);
 
    return angles;
}

3.3 四元素到旋转矩阵转换

或等效地，通过齐次表达式：

四. 奇点

当螺距接近±90°（南北极）时，必须意识到欧拉角参数化的奇异性。这些情况必须特别处理。这种情况的通用名称是万向节锁。

处理奇异点的代码可从以下网站获取：www.euclideanspace.com

五. 矢量旋转

定义四元素的尺度 q_0 和向量 $\overrightarrow{q}$ ，有 ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{0},{\vec {q}})=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}.$

请注意，通过定义欧拉旋转的四元数 $q$ 来旋转三维矢量 ${\vec{v}}$ 的规范方法是通过公式：

$\mathbf {p} ^{\,\prime }=\mathbf {qpq} ^{\ast }$

这儿： $\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})=0+iv_{1}+jv_{2}+kv_{3}$ 是包含嵌入向量 ${\vec{v}}$ 的四元数， $\mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})} {\displaystyle \mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})$ 是共轭四元数，

在计算实现中，这需要两个四元数乘法。一种替代方法是应用一对关系：

${\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}$

${\vec {v}}^{\,\prime }={\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}$

$\times$ ：表示三维矢量叉积。这涉及较少的乘法，因此计算速度更快。数值测试表明，对于矢量旋转，后一种方法可能比原始方法快30％[4]。

证明：

标量和矢量部分的四元数乘法的一般规则由下式给出：

${\begin{aligned}\mathbf {q_{1}q_{2}} &=(r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})\\&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\\\end{aligned}}$

利用这种关系 $\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})$ 可以找到：

${\begin{aligned}\mathbf {pq^{\ast }} &=(0,{\vec {v}})(q_{0},-{\vec {q}})\\&=({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\\end{aligned}}$

并替换为三乘积：

${\begin{aligned}\mathbf {qpq^{\ast }} &=(q_{0},{\vec {q}})({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\&=(0,q_{0}^{2}{\vec {v}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}){\vec {q}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}$

$q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}} {\displaystyle q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}$

${\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}})=({\vec {q}}\cdot {\vec {v}}){\vec {q}}-({\vec {q}}\cdot {\vec {q}}){\vec {v}}$

可得到：

${\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\prime }&=\mathbf {qpq^{\ast }} =(0,{\vec {v}}+2q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+2{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}$

在定义 ${\vec {t}} = 2 {\vec {q}} \times {\vec {v}}$ 时，可以按标量和矢量部分来表示：

$(0,{\vec {v}}^{\,\prime })=(0,{\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}).$

六 . 其他参考

七 python 转换

7.1 四元素欧拉角互相转换

def EulerAndQuaternionTransform( intput_data):
    """
        四元素与欧拉角互换
    """
    data_len = len(intput_data)
    angle_is_not_rad = False
 
    if data_len == 3:
        r = 0
        p = 0
        y = 0
        if angle_is_not_rad: # 180 ->pi
            r = math.radians(intput_data[0]) 
            p = math.radians(intput_data[1])
            y = math.radians(intput_data[2])
        else:
            r = intput_data[0] 
            p = intput_data[1]
            y = intput_data[2]
 
        sinp = math.sin(p/2)
        siny = math.sin(y/2)
        sinr = math.sin(r/2)
 
        cosp = math.cos(p/2)
        cosy = math.cos(y/2)
        cosr = math.cos(r/2)
 
        w = cosr*cosp*cosy + sinr*sinp*siny
        x = sinr*cosp*cosy - cosr*sinp*siny
        y = cosr*sinp*cosy + sinr*cosp*siny
        z = cosr*cosp*siny - sinr*sinp*cosy
        return [w,x,y,z]
 
    elif data_len == 4:
 
        w = intput_data[0] 
        x = intput_data[1]
        y = intput_data[2]
        z = intput_data[3]
 
        r = math.atan2(2 * (w * x + y * z), 1 - 2 * (x * x + y * y))
        p = math.asin(2 * (w * y - z * x))
        y = math.atan2(2 * (w * z + x * y), 1 - 2 * (y * y + z * z))
 
        if angle_is_not_rad : # pi -> 180
            r = math.degrees(r)
            p = math.degrees(p)
            y = math.degrees(y)
        return [r,p,y]

7.2 旋转矩阵<->欧拉角 py

import numpy as np
import math
import random
 
def isRotationMatrix(R) :
    Rt = np.transpose(R)
    shouldBeIdentity = np.dot(Rt, R)
    I = np.identity(3, dtype = R.dtype)
    n = np.linalg.norm(I - shouldBeIdentity)
    return n < 1e-6
 
def rotationMatrixToEulerAngles(R) :
 
    assert(isRotationMatrix(R))
    sy = math.sqrt(R[0,0] * R[0,0] + R[1,0] * R[1,0])
    singular = sy < 1e-6
 
    if not singular :
        x = math.atan2(R[2,1] , R[2,2])
        y = math.atan2(-R[2,0], sy)
        z = math.atan2(R[1,0], R[0,0])
    else :
        x = math.atan2(-R[1,2], R[1,1])
        y = math.atan2(-R[2,0], sy)
        z = 0
 
    return np.array([x, y, z])
 
def eulerAnglesToRotationMatrix(theta) :
 
    R_x = np.array([[1,     0,         0          ],
    [0,     math.cos(theta[0]), -math.sin(theta[0]) ],
    [0,     math.sin(theta[0]), math.cos(theta[0]) ]
    ])
 
    R_y = np.array([[math.cos(theta[1]),  0,   math.sin(theta[1]) ],
    [0,           1,   0          ],
    [-math.sin(theta[1]),  0,   math.cos(theta[1]) ]
    ])
 
    R_z = np.array([[math.cos(theta[2]),  -math.sin(theta[2]),  0],
    [math.sin(theta[2]),  math.cos(theta[2]),   0],
    [0,           0,           1]
    ])
 
 
    R = np.dot(R_z, np.dot( R_y, R_x ))
 
    return R

c++:

        static Eigen::Vector3d R2ypr(const Eigen::Matrix3d &R)
    {
        Eigen::Vector3d n = R.col(0);
        Eigen::Vector3d o = R.col(1);
        Eigen::Vector3d a = R.col(2);
 
        Eigen::Vector3d ypr(3);
        double y = atan2(n(1), n(0));
        double p = atan2(-n(2), n(0) * cos(y) + n(1) * sin(y));
        double r = atan2(a(0) * sin(y) - a(1) * cos(y), -o(0) * sin(y) + o(1) * cos(y));
        ypr(0) = y;
        ypr(1) = p;
        ypr(2) = r;
 
        return ypr / M_PI * 180.0;
    }
 
    template <typename Derived>
    static Eigen::Matrix<typename Derived::Scalar, 3, 3> ypr2R(const Eigen::MatrixBase<Derived> &ypr)
    {
        typedef typename Derived::Scalar Scalar_t;
 
        Scalar_t y = ypr(0) / 180.0 * M_PI;
        Scalar_t p = ypr(1) / 180.0 * M_PI;
        Scalar_t r = ypr(2) / 180.0 * M_PI;
 
        Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Rz;
        Rz << cos(y), -sin(y), 0,
            sin(y), cos(y), 0,
            0, 0, 1;
 
        Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Ry;
        Ry << cos(p), 0., sin(p),
            0., 1., 0.,
            -sin(p), 0., cos(p);
 
        Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Rx;
        Rx << 1., 0., 0.,
            0., cos(r), -sin(r),
            0., sin(r), cos(r);
 
        return Rz * Ry * Rx;
    }

八 Eigen transform

8.1 欧拉角到四元素

      Eigen::Quaterniond RollPitchYaw(const double roll, const double pitch,
                                      const double yaw) {
        const Eigen::AngleAxisd roll_angle(roll, Eigen::Vector3d::UnitX());
        const Eigen::AngleAxisd pitch_angle(pitch, Eigen::Vector3d::UnitY());
        const Eigen::AngleAxisd yaw_angle(yaw, Eigen::Vector3d::UnitZ());
        return yaw_angle * pitch_angle * roll_angle;
      }

四元素得到yaw

    template <typename T>
      T GetYaw(const Eigen::Quaternion<T>& rotation) {
        const Eigen::Matrix<T, 3, 1> direction =
          rotation * Eigen::Matrix<T, 3, 1>::UnitX();
        return atan2(direction.y(), direction.x());
      }

四元素到旋转向量

    template <typename T>
      Eigen::Matrix<T, 3, 1> RotationQuaternionToAngleAxisVector(
        const Eigen::Quaternion<T>& quaternion) {
        Eigen::Quaternion<T> normalized_quaternion = quaternion.normalized();
        // We choose the quaternion with positive 'w', i.e., the one with a smaller
        // angle that represents this orientation.
        if (normalized_quaternion.w() < 0.) {
          // Multiply by -1. http://eigen.tuxfamily.org/bz/show_bug.cgi?id=560
          normalized_quaternion.w() = -1. * normalized_quaternion.w();
          normalized_quaternion.x() = -1. * normalized_quaternion.x();
          normalized_quaternion.y() = -1. * normalized_quaternion.y();
          normalized_quaternion.z() = -1. * normalized_quaternion.z();
        }
        // We convert the normalized_quaternion into a vector along the rotation axis
        // with length of the rotation angle.
        const T angle =
          2. * atan2(normalized_quaternion.vec().norm(), normalized_quaternion.w());
        constexpr double kCutoffAngle = 1e-7;  // We linearize below this angle.
        const T scale = angle < kCutoffAngle ? T(2.) : angle / sin(angle / 2.);
        return Eigen::Matrix<T, 3, 1>(scale * normalized_quaternion.x(),
                                      scale * normalized_quaternion.y(),
                                      scale * normalized_quaternion.z());
      }

旋转轴向量到四元素

    template <typename T>
      Eigen::Quaternion<T> AngleAxisVectorToRotationQuaternion(
        const Eigen::Matrix<T, 3, 1>& angle_axis) {
        T scale = T(0.5);
        T w = T(1.);
        constexpr double kCutoffAngle = 1e-8;  // We linearize below this angle.
        if (angle_axis.squaredNorm() > kCutoffAngle) {
          const T norm = angle_axis.norm();
          scale = sin(norm / 2.) / norm;
          w = cos(norm / 2.);
        }
        const Eigen::Matrix<T, 3, 1> quaternion_xyz = scale * angle_axis;
        return Eigen::Quaternion<T>(w, quaternion_xyz.x(), quaternion_xyz.y(),
                                    quaternion_xyz.z());
      }

Eigen 转换函数

九旋转矩阵与欧拉角

按旋转坐标系分内旋(旋转的轴是动态的) 和外旋(旋转轴是固定的，是不会动的)。

绕定轴 XYZ旋转（RPY）（外旋）

假设两个坐标系A和B，二者初始时完全重合。过程如下：B绕A的X轴旋转γ角，再绕A的Y轴旋转β角，最后绕A的Z轴旋转α角，完成旋转。整个过程，A不动B动。旋转矩阵的计算方法如下：R = Rz * Ry *Rx，乘法顺序：从右向左，依次旋转X轴Y轴Z轴。

绕动轴ZYX旋转（Euler角）（内旋）

过程如下：B绕B的Z轴旋转α角，再绕B的Y轴旋转β角，最后绕B的X轴旋转γ角，完成旋转。整个过程，A不动B动。旋转矩阵的计算方法如下： $R=R_Z*R_Y*R_X$ 。乘法顺序：从左向右

欧拉角的表示方式比较直观，但是有几个缺点：

(1) 欧拉角的表示方式不唯一。给定某个起始朝向和目标朝向，即使给定yaw、pitch、roll的顺序，也可以通过不同的yaw/pitch/roll的角度组合来表示所需的旋转。比如，同样的yaw-pitch-roll顺序，(0,90,0)和(90,90,90)会将刚体转到相同的位置。这其实主要是由于万向锁(Gimbal Lock)引起的 (2) 欧拉角的插值比较难。 (3) 计算旋转变换时，一般需要转换成旋转矩阵，这时候需要计算很多sin, cos，计算量较大。