前言

定义1：设R（U，F）是一个关系模式，F是函数依赖集，若F${}^{+}$= ( $U$${}_{i=1}^k{F}_i)$${}^{+}$，则R<U, F>的分解ρ={ R1<U1, F1>，R2<U2, F2>，…，Rk<Uk, Fk> } ，则分解ρ保持函数依赖。
定义2：分解前函数依赖的闭包和分解后各个函数依赖并集的闭包相等；即分解不能丢失函数依赖
保持函数依赖性判断完全可以根据定义及Armstrong公理进行判断。对于不能简单的推算出是否保持函数依赖，则需要通过以下算法实现。

判断算法

判断一个模式分解是否保持函数依赖，假设R（U，F）分解为R1（U1，F1）、R2（U2，F2）… R${}_n$（U${}_n$，F${}_n$）
其中：U${}_1$$\cup$U${}_2$…$\cup$U${}_n$=U，F${}_1$、F${}_2$、F${}_n$分别是F在U${}_1$、U${}_2$…U${}_n$上的投影。处理步骤如：
第一步：设F’=F${}_1$UF${}_2$…UF${}_n$；判断F’是否覆盖了F，若包含了F中所有的函数依赖，则一定是保持函数依赖的，判断结束，否则进入第二步
第二步：对F’中没显式包含的函数依赖依据armstrong公理做初步判断，F’蕴含了该函数依赖，F’覆盖了该函数依赖。如不能判断得出，使用以下算法去实现，只要有一个函数依赖没有覆盖的到，则不保持函数依赖。是否蕴含了某个函数依赖判断的算法如下：

假设：需要判断是否蕴含了$\alpha$->$\beta$函数依赖；
令 Result=$\alpha$
开始扫描R${}_i$，T=(Result$\cap R$${}_i$)${}_F^{+}$∩Ri
令：Result=Result$\cup$T
Result包含了$\beta$，则：$\alpha$->$\beta$成立，算法终止
Result有变化，但还没包含$\beta$，继续下一轮
Result无变化，且不包含$\beta$，则：$\alpha$->$\beta$不成立，分解不覆盖$\alpha$->$\beta$，说明不保持函数依赖。

示例

例1：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A—>C,B—>C,C—>D,DE—>C,CE—>A}，
R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。
解：
求投影：R${}_1$ F${}_1${A—>D} ，R${}_2$ F${}_2${$Ø$} ，R${}_3$ F${}_3${$Ø$}，R${}_4$（CDE）， F${}_4$（DE->C,C->D}
F’=F$-$（F${}_1$UF${}_2$UF${}_3$UF${}_4$）={A->D、DE->C,C->D}
A->C、B->C、CE->A这些函数依赖需要进一步的判断是否被覆盖到

根据Armstrong公理简单判断不出,F’是否蕴含了A->C、B->C、CE->A等函数依赖

转入求闭包操作：
A->C：
第一轮：
令： Result={A}
Result与R1求交，为{A}, 求A的闭包：A${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_1$={AD}; Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R2求交，为{A}, 求A的闭包：A${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_2$={A}; Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R3求交，为{$Ø$}, Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R4求交，为{D}, 求D的闭包：D${}_F^{+}$={D}, 则T={D}$\cap$R${}_4$={D} Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R5求交，为{A}, 求A的闭包：A${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_5$={A} Result= Result$\cup$T={AD}
第一轮，开始Result={A}，最后得到Result={AD}，Result发生变化，开始第二轮
第二轮
此时, Result={AD}
Result与R1求交，为{AD}, 求AD的闭包：AD${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_1$={AD}; Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R2求交，为{A}, 求A的闭包：A${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_2$={A}; Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R3求交，为{$Ø$}, Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R4求交，为{D}, 求D的闭包：D${}_F^{+}$={D}, 则T={D}$\cap$R${}_4$={D} Result= Result$\cup$T={AD}
Result与R5求交，为{A}, 求A的闭包：A${}_F^{+}$={ACD}, 则T={ACD}$\cap$R${}_5$={A} Result= Result$\cup$T={AD}
第二轮，开始Result={AD}，最后得到Result={AD}，Result无变化且Result不包含C，不能覆盖A->C，无需做其他两个验证了。
所以：此模式分解不保持函数依赖性。

例2：给定关系模式R(U,F),U={A,B,C,D} F={A->B, B->C, C->D, D->A}
分解为R1：{AB}、R2{BC}、R3{CD}，判断此分解是否具有依赖保持性
解：求投影
R${}_1$ F${}_1${A->B，B->A} ，
R${}_2$ F${}_2${C->B，B->C} ，
R${}_3$ F${}_3${C->D，D->C}，
F’=（F${}_1$UF${}_2$UF${}_3$UF${}_4$）={A->B，B->A，C->B，B->C，C->D，D->C}
缺少： 函数依赖D->A;
D${}_F^{\prime +}$={DCBA}；表示F’蕴含了D->A，F’与F是等价的；所以保持函数依赖性
完毕。

我们可以使用第三步方法再验证一下F’是否蕴含了D->A
第一轮：
令： Result={D}
Result与R1求交，为{$Ø$}, 求$Ø$的闭包得到$Ø$，T={$Ø$}$\cap$R${}_1$={$Ø$}; Result= Result$\cup$T={D}
Result与R2求交，为{$Ø$}, 求$Ø$的闭包得到$Ø$，T={$Ø$}$\cap$R${}_2$={$Ø$}; Result = Result$\cup$T={D}
Result与R3求交，为{D}, 求D的闭包,D${}_F^{+}$={ABCD}，T={ABCD}$\cap$R${}_3$={CD}; Result= Result$\cup$T={CD}
由于最后的Result={CD}和最初的Result={D}不同，我们开始第二轮
第二轮：
Result={CD}
Result与R1(AB)求交，为{$Ø$}, 求$Ø$的闭包得到$Ø$，T={$Ø$}$\cap$R${}_1$={$Ø$}; Result= Result$\cup$T={CD}
Result与R2(BC)求交，为{C}, 求C的闭包C${}_F^{+}$={ABCD}，T={ABCD}$\cap$R${}_2$={BC}; Result= Result$\cup$T={BCD}
Result与R3(CD)求交，为{CD}, 求CD的闭包,DC${}_F^{+}$={ABCD}，T={ABCD}$\cap$R${}_3$={CD}; Result= Result$\cup$T={BCD}
由于最后的Result={BCD}和最初的Result={CD}不同，我们开始第三轮
第三轮：
Result={BCD}
Result与R1(AB)求交，为{B}, 求B的闭包B${}_F^{+}$={ABCD}，T={ABCD}$\cap$R${}_1$={AB}; Result= Result$\cup$T={ABCD}
此时：result已经包含了A，说明F’是否蕴含了D->A
F’与F等价，保持函数依赖性。

结论

保持函数依赖性，就是做模式分解后的F’（各个子模式函数依赖的并集）是否与F（原有的函数依赖集）等价，F’包含所有的F中的函数依赖则可以得出保持函数的依赖性（充分条件），如果F’不显式包含F中的函数依赖，还需进一步判断，判断方法有两条，第一种是通过F’中的属性闭包去求，是否蕴含函数依赖（这种方法要求做函数投影时，不能缺项）；第二种使用给定的算法去求，对投影要求简单，但过程特别麻烦。