回溯法--TSP

转载自：再谈回溯法回溯法介绍回溯法，又叫试探法，是一种寻找最优解的暴力搜寻法。但是，由于暴力，回溯法的时间复杂度较高，因此在比较一些数字较大的问题时，比如上次我们提到的最短路径问题等，运行时间一般比较长。在回溯法中，深度优先搜索是一种很重要的工具。DFS的基本思想是：（1）某一种可能情况向前探索，并生成一个子节点。（2）过程中，一旦发现原来的选择不符合要求，就回溯至父亲结点，然后重新选择另一方向，

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转载自：再谈回溯法

回溯法介绍

回溯法，又叫试探法，是一种寻找最优解的暴力搜寻法。但是，由于暴力，回溯法的时间复杂度较高，因此在比较一些数字较大的问题时，比如上次我们提到的最短路径问题等，运行时间一般比较长。在回溯法中，深度优先搜索是一种很重要的工具。

DFS的基本思想是：

（1）某一种可能情况向前探索，并生成一个子节点。

（2）过程中，一旦发现原来的选择不符合要求，就回溯至父亲结点，然后重新选择另一方向，再次生成子结点，继续向前探索。

（3）如此反复进行，直至求得最优解。

回溯法基本思想是：

（1）针对具体问题，定义问题的解空间；

（2）确定易于搜索的解空间结构（数据结构的选择）。

（3）一般以DFS的方式搜索解空间。

（4）在搜索过程中，可以使用剪枝函数等来优化算法。（剪枝函数：用约束函数和限界函数剪去得不到最优解的子树，统称为剪枝函数。）

解空间：顾名思义，就是一个问题的所有解的集合。（但别忘了，这离我们要求的最优解还差很远！）

约束条件：有效解的要求，即题目的要求。

约束函数：减去不满足约束条件的子树的函数

限界函数：去掉得不到最优解的结点的函数

扩展结点：当前正在产生子结点的结点称为扩展结点

回溯法处理的解空间常常可以分为这两种（或者说可以采取这两种方法）：

子集树：当所给问题是从集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。

排列树：当所给问题事从集合中确定满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。

回溯法到底和DFS有什么区别？

真要说的话，DFS是一种遍历搜索图、树等数据结构的一种算法，更像一种工具；

而回溯法则是为了解决问题不断地生成又放弃一些解决方案（解空间在搜索问题的过程中动态产生是回溯法的一个重要特点），直至找到最优解或搜索完毕为止的一种方法，更像一种指导思想，在解空间中利用DFS进行全面的搜索。

剪枝

剪枝就是在搜索过程中利用过滤条件来剪去完全不用考虑（已经判断这条路走下去得不到最优解）的搜索路径，从而避免了一些不必要的搜索，优化算法求解速度，当然还必须得保证结果的正确性。

应用到回溯算法中，我们可以提前判断当前路径是否能产生结果集，如果否，就可以提前回溯。而这也叫做可行性剪枝。

另外还有一种叫做最优性剪枝，每次记录当前得到的最优值，如果当前结点已经无法产生比当前最优解更优的解时，可以提前回溯。

然而，剪枝的过滤条件不好找，想通过剪枝优化来提高算法高效性，又要保证结果正确性，还要保证剪枝的准确性。

01背包：子集树

因为我们考虑的是找子集，所以每个物品只有选与不选两种状态，因此解空间是一个二叉树。在这个树中，每一层的边表示对一个物品的选择与否。

举个例子，选择第一层点0与左边点1间的边，表示选择1号物品，也就是选择左子树走下去；如果不选择1号物品入包，则进入右子树，选择右边点1。那么，一共有n件物品，就有n层的边，n+1层点。最后一层的每一个叶结点分别表示一种选择法，一共有2^n个叶结点，即解空间中共有2^n种解，我们要在这些叶结点中选择最佳结点。

伪代码框架：

void search(层数)

{

If(搜索到最底层)

打印出结果解;

else

for(遍历当前层解)

{

If(合适解)继续搜索;

撤消当前状态的影响;//回溯

}

}

01背包问题。

某舟同学打算去拜访某欣同学，他打算带一背包的巧克力作为礼物。他希望装进的巧克力总价值最高，这样可能比较好吃。然而小舟体力有限，巧克力包不能太重，只能有8kg。

可供选择的巧克力如下：

1 费列罗 4kg $4500

2 好时之点 5kg $5700

3 德芙 2kg $2250

4 Cudie（西班牙） 1kg $1100

5 自制 6kg $6700

回溯法讲究“暴力”。我们从暴力的角度思考，想把所有的尽量装满背包的搭配都找出来，标记每一种装法（每一个解）最大value，从而找到最优解。

我们从第一种巧克力开始装，然后找下一个，判断能否装入，再递归，到达边界，比较，记录较优解，回溯，继续往下找。。。循环。

从子集树的角度将，我们优先选择走左子树，也就是入包；当走到叶结点或不符合约束的重量条件时，回溯到父结点，进入右结点，最后遍历全树。

判断能否装入后可以用一个book数组来标记是否选择入包。

//01背包问题——回溯法子集树 
#include <iostream>
using namespace std;

int n,bag_v,bag_w;
int bag[100],x[100],w[100],val[100];

void search(int cur,int cur_v,int cur_w)
{   //search递归函数，当前current节点的价值为current value，重量为current weight 
    if(cur>n)   //判断边界   
    {
        if(cur_v>bag_v)             //是否超过了最大价值
        {
            bag_v=cur_v;            //得到最大价值
            for(int i=1;i<=n;i++)      
                bag[i]=x[i];      //x表示当前是否被选中，将选中的物品存入bag中 
        }
    }
    else 
        for(int j=0;j<=1;j++)    //遍历当前解层:是否选择该物品 
        {
            x[cur]=j;      
            if(cur_w+x[cur]*w[cur]<=bag_w)   //满足重量约束,继续向前寻找配对 
            {
                cur_w+=w[cur]*x[cur];
                cur_v+=val[cur]*x[cur];
                search(cur+1,cur_v,cur_w);//递归，下一件物品 
                //清楚痕迹，回溯上一层 
                cur_w-=w[cur]*x[cur];   
                cur_v-=val[cur]*x[cur];
                x[cur]=0;
            }
        }
}

int main()
{
    int i;
    bag_v=0; //初始化背包最大价值
    
    //输入数据 
    cout<<"请输入背包最大容量:"<<endl;;
    cin>>bag_w;
    cout<<"请输入物品个数:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请依次输入物品的重量:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>w[i];
    cout<<"请依次输入物品的价值:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>val[i];
        
    search(1,0,0);
    
    cout<<"最大价值为:"<<endl;
    cout<<bag_v<<endl;
    cout<<"物品的编号依次为:"<<endl;

    for(i=1;i<=n;i++)
        if(bag[i]==1) 
            cout<<i<<" ";
    cout<<endl;
    
    return 0;
}

如何优化

我们可以用一个上界函数bound(): （当前价值+剩余容量可容纳的最大价值），去和目前的背包最大价值（也就是最优解）比较，如果bound（）更小，那就没有继续搜索的意义了，剪去左子树，即不选择当前物品，进入右子树。

因为物品只有选与不选2个决策，而总共有n个物品，所以时间复杂度为O（2^n）。

因为递归栈最多达到n层，而且存储所有物品的信息也只需要常数个一维数组，所以最终的空间复杂度为O(n)。

那么，我们如何计算这个“剩余容量可容纳的最大价值”呢？

首先，我们先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

    if(cur_w+w[cur]<=bag_w)//将物品cur放入背包,搜索左子树,即选择当前物品 
    {
        cur_w+=w[cur];//同步更新当前背包的重量
        cur_v+=val[cur];//同步更新当前背包的总价值
        put[cur]=1;
        search(cur+1,cur_v,cur_w);//深度搜索进入下一层
        cur_w-=w[cur];//回溯复原
        cur_v-=val[cur];//回溯复原
    }
    if(bound(cur+1,cur_v,cur_w)>bag_v)//如若符合条件则搜索右子树,即不选择当前物品 
  {
        put[cur]=0;
        search(cur+1,cur_v,cur_w);
    }

当 i <= n，重量超过限制时，leftw为负，我们得到的是一个达不到的理想最大价值，因为此时最后放入的物品单位价值较高，但无法完全塞进书包，我们就去掉多余的部分，只取一部分该物体入包。当然，这是做不到的。因此计算出的值是一个达不到的理想值。

当 i > n，重量未超过限制时，则是可达到的最大价值。

这样就解释了这个上界函数的优化。可以看出，这是一个最优性剪枝优化，判断当前结点是否有机会产生更优解。

总代吗：


//01背包问题优化
#include <iostream>
using namespace std;

int n,bag_v,bag_w;
int bag[100],put[100],w[100],val[100],order[100];
double perp[100]; 

//按照单位重量价值排序，这里用冒泡 
void bubblesort()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;
 
    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=val[i]/w[i]; //计算单位价值（单位重量的物品价值）
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
        {
            temp = perp[i];  //冒泡对perp[]排序交换 
            perp[i]=perp[i];
            perp[j]=temp;
 
            temporder=order[i];//冒泡对order[]交换 
            order[i]=order[j];
            order[j]=temporder;
 
            temp = val[i];//冒泡对val[]交换 
            val[i]=val[j];
            val[j]=temp;
 
            temp=w[i];//冒泡对w[]交换 
            w[i]=w[j];
            w[j]=temp;
        }
    }
}

//计算上界函数，功能为剪枝
double bound(int i,int cur_v,int cur_w)
{   //判断当前背包的总价值cur_v＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
    double leftw= bag_w-cur_w;//剩余背包容量
    double b = cur_v;//记录当前背包的总价值cur_v,最后求上界
        //以物品单位重量价值递减次序装入物品
    while(i<=n && w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=val[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if(i<=n)
        b+=val[i]/w[i]*leftw;
    return b;//返回计算出的上界
}

void search(int cur,int cur_v,int cur_w)
{   //search递归函数，当前current节点的价值为current value，重量为current weight 
    if(cur>n)   //判断边界   
    {
        if(cur_v>bag_v)             //是否超过了最大价值
        {
            bag_v=cur_v;            //得到最大价值
            for(int i=1;i<=n;i++)      
                bag[order[i]]=put[i];      //put表示当前是否被选中，将选中的物品存入bag中 
        }
    }
    //如若左子节点可行，则直接搜索左子树;
    //对于右子树，先计算上界函数，以判断是否将其减去
    if(cur_w+w[cur]<=bag_w)//将物品cur放入背包,搜索左子树,即选择当前物品 
    {
        cur_w+=w[cur];//同步更新当前背包的重量
        cur_v+=val[cur];//同步更新当前背包的总价值
        put[cur]=1;
        search(cur+1,cur_v,cur_w);//深度搜索进入下一层
        cur_w-=w[cur];//回溯复原
        cur_v-=val[cur];//回溯复原
    }
    if(bound(cur+1,cur_v,cur_w)>bag_v)//如若符合条件则搜索右子树,即不选择当前物品 
  {
        put[cur]=0;
        search(cur+1,cur_v,cur_w);
    }
}

int main()
{
    int i;
    bag_v=0; //初始化背包最大价值
    //输入数据 
    cout<<"请输入背包最大容量:"<<endl;;
    cin>>bag_w;
    cout<<"请输入物品个数:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请依次输入物品的重量:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>w[i];
    cout<<"请依次输入物品的价值:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>val[i];
    for (i=1;i<=n;i++)  //新增的order数组，存储初始编号 
        order[i]=i;
    search(1,0,0);
    
    cout<<"最大价值为:"<<endl;
    cout<<bag_v<<endl;
    cout<<"物品的编号依次为:"<<endl;

    for(i=1;i<=n;i++)
        if(bag[i]==1) 
            cout<<i<<" ";
    cout<<endl;
    
    return 0;
}

旅行售货员：排序树

排列树与子集树最大的区别在于，子集树的解是无序的子集，而排列树的解则包含整个集合的所有元素，我们从暴力的原则出发，将元素进行全排列。

｛｝外的数表示已经排好序，｛｝内的数尚未排序。

在排序树中，每一层选择一个数字排到队尾，因此对一个n元素的集合，树的第一层将有n个子结点，表示可选n个数放在队伍的第一个位置，一次分叉比前一次减少一个（因为已经确定了一个位置的元素）；

树共有n+1层（图中省略了最后一层），表示选择n次；

叶结点共有n！个，表示组合数A，全排列共有n！种情形（因此时间复杂度也是n！）。

算法框架

这里的swap是一个交换函数，对于一个排列，只要交换任意两数后就是一个新排列。constraint（）和bound（）分别是约束条件和限定函数（用于剪枝优化）。

为什么要用swap来交换，而不是把数据放入新数组啦等等什么别的操作呢？

这是因为，当我们在原先存储数据的数组x内进行交换时，我们把排好序的元素放到了数组的前面，留下的数据则是未排序的。这样在我们进行for循环的时候就能从t开始，同时避免了重复遇到排过序的数，也不需要book记录等多余的代码。

旅行售货员问题（TSP）：

某舟同学在去小欣同学那前想了一想，准备顺便拜访各高校的高中同学。他打算从本校出发，途径高中同学所在的一些高校，最终回到自己学校。小舟很懒，希望只走最短的路，同时不想在一个学校玩第二次，因为他们不是主要目标。怎么满足贪得无厌的小舟，制定一个旅行方案？

乍一看这个题目是不是和最短路径问题很像？但很可惜的是，最短路径不要求通过每一个点，还是有所不同。

关键词：最短，每点一次，闭合回路。（但学过的知识还是有用的：比方说我们可以用上次学过的邻接矩阵来存储图的内容。）

在这个问题中，我们的解空间就是所有城市的全排列，即走过每一个城市的顺序，因此可以用排序树来考虑这个问题。

//旅行售货员问题——回溯法排序树 
#include <iostream>
using namespace std;
 
 int n,t;
 int dis[100][100],x[100],bestroad[100]; 
 int cur_dis,bestdis;
 const int INF=99999;
 
 void swap(int&a,int&b)  //swap函数，交换 
{
   int temp;
   temp=a;
   a=b;
   b=temp;
 }
 
 void backtrack(int t)   
{
   if (t==n)
     { //判断边界。很长的判断 ，不能到自己或到不了，要比当前最优解短 
       if (dis[x[n - 1]][x[n]] != 0 && dis[x[n]][1] != 0 &&(cur_dis + dis[x[n - 1]][x[n]] + dis[x[n]][1] < bestdis || bestdis == 0)) 
           {  //记录最优路径，最优距离 
             for (int j=1;j<=n;j++)
                    bestroad[j]=x[j];
             bestdis=cur_dis+ dis[x[n - 1]][x[n]] + dis[x[n]][1];
             return;
         }
     }
     
  else
     {
    for (int j=t;j<=n;j++)
       {
         if(dis[x[t]][x[j]]!=0&& (cur_dis + dis[x[t - 1]][x[t]] + dis[x[t]][1] < bestdis || bestdis == 0))
             {
               swap(x[t],x[j]);
               cur_dis+=dis[x[t]][x[t-1]];
               backtrack(t+1);
               //回溯 
               cur_dis-=dis[x[t]][x[t-1]];
               swap(x[t],x[j]);
           }
       }
    
     }
 }
 
 int main()
{
    int i,j,m,a,b,c;
    
    cout<<"输入城市数:"<<endl;
    cin>>n; 
    cout<<"输入路径数:"<<endl; 
    cin>>m;
    //初始化邻接矩阵
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            dis[i][j]=0;  
    cout<<"输入路径与距离:"<<endl; 
     //读入城市之间的距离
    for(i=1;i<=m;i++)
    { 
    cin>>a>>b>>c;
      dis[a][b]=dis[b][a]=c; //无向图，两边都记录 
    }
    for(i = 1; i <= n; i++)
       x[i] = i;
       
    backtrack(2);      
  cout<<"最佳路径为:";
    for (i=1;i<=n;i++)
            cout<<bestroad[i]<<" --> ";
    cout<<"1"<<endl;
    cout<<"最短距离为:"<<bestdis;
    
    return 0;
 }