已知图像中线段的两个点，求另外一个点到这个点的垂足。

一、垂足公式

• 已知直线一般式方程时：
  设已知直线外一点坐标为$（x0,y0）$,垂足坐标为$（x,y）$，因为垂线与直线垂直，垂线斜率为$k$的负倒数，则可得方程：

$$\begin{gathered} Ax+By+C=0 \\ (y-y0)/(x-x0)=B/A; \end{gathered}$$

解方程可得垂足坐标为

$$\begin{gathered} x=(B\ast B\ast x0-A\ast B\ast y0-A\ast C)/(A\ast A+B\ast B) \\ y=(-A\ast B\ast x0+A\ast A\ast y0-B\ast C)/(A\ast A+B\ast B) \end{gathered}$$

• 直线的斜截式方程：

$y=kx+b=-(A/B)y-(C/B)$
计算得出$A、B、C$

$$\begin{gathered} A=k; \\ B=-1.0; \\ C=pntSart.y-k\ast pntSart.x \end{gathered}$$

再将以上$A、B、C$分别代入垂足公式即可

二、C++代码

调用Opencv库来做Demo
写代码时，别忘记了考虑斜率无穷大的问题

#include <iostream>
#include "opencv2/opencv.hpp"

void FindFoot(cv::Point2f pntSart, cv::Point2f pntEnd, cv::Point2f pA, cv::Point2f &pFoot)
{
    float k = 0.0;
    if(pntSart.x == pntEnd.x)
    {
        pFoot.x = pntSart.x;
        pFoot.y = pA.y;
        return;
    }
    k = (pntEnd.y - pntSart.y) * 1.0 / (pntEnd.x - pntSart.x);
    float A = k;
    float B = -1.0;
    float C = pntSart.y - k  * pntSart.x;

    pFoot.x = (B * B * pA.x -A * B * pA.y-A * C) / (A * A + B * B);
    pFoot.y = (A * A * pA.y - A * B * pA.x-B * C) / (A * A + B * B);
}

int main()
{
    cv::Mat matBgrImg =  cv::Mat(300, 300, CV_8UC3, cv::Scalar(0,0,0));

    std::cout << matBgrImg.cols << std::endl;
    cv::Point2f p1(100, 100);
    cv::Point2f p2(200, 200);
    cv::Point2f pA(100, 200);
    cv::Point2f pFoot;

    FindFoot(p1, p2, pA, pFoot);
    std::cout << pFoot.x << " " << pFoot.y << std::endl;

    cv::line(matBgrImg, p1, p2, cv::Scalar(0, 255, 255, 0), 2);
    cv::line(matBgrImg, pA, pFoot, cv::Scalar(255, 0, 0, 0), 2);
    cv::imshow("name", matBgrImg);
    cv::waitKey(0);
    std::cout << "Hello, World!" << std::endl;
    return 0;
}

显示如下：