正交矩阵

正交矩阵的定义如下：如果

其中E为单位矩阵，则称n阶实矩阵A为正交矩阵。

所以正交矩阵的性质如下：

1. 正交矩阵的每一列、行都是单位向量，并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。

2. 正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置。由此可以推断出正交矩阵的行列式的值肯定为正负1。

所有的矩阵都可以看成一种变换。正交矩阵的变换可以看成，如果作用在一组空间基向量上，它会将一组空间基向量(单位正交的)变换成另外一组空间基向量（还是单位正交的）。

向量与坐标

对于三维空间中的任意一个向量，它在一组基下的表示如下：

两个向量的内积可以写成：

外积写成：

其中是向量a对应的反对称矩阵：

旋转矩阵(是正交矩阵的证明)

旋转矩阵，对应了一种变换，在三维空间中，这种变换可以看成将空间中物体绕一条轴旋转一定角度。很容易发现，这是一种正交矩阵。

证明的话，可以按照如下思路。

• 首先对于一组单位正交基过一次旋转变换后变成了

• 那么，对于同一个向量(没有随着坐标系的旋转而发生运动)，所以会有如下等式成立，其中两个竖向量分别是在两个单位正交基下的坐标：

• 上述公式左右同时左乘，我们会得到如下公式，其中是这次旋转变换对向量的变换矩阵。

此处，矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了前后同一个向量经过一次旋转变换的坐标变换关系。因此，这个就是一个旋转矩阵（只有两个正交基不变，它就不变）。这个矩阵按列看，是第二组基向量在第一组中的坐标表示，按行看，是第一组基向量在第二组中的坐标表示。它们肯定是相互正交的。

我们可以很清楚的发现，旋转矩阵R是一个正交矩阵。因为，如果将矩阵转置，其实刚好就是一个的逆操作，将两组正交基顺序交换了。

伴随性质的证明

对任意的旋转矩阵和三维向量，都有

这个性质经常在机器人动力学中使用很频繁。今天不小心看到一个证明，于是记录一下。

此处需要把运算符转换成叉乘。我们知道，对于任意，总有。于是：

所以上面是一直等价的（倒数第二个式子到最后一个式子等价，因为矩阵乘法满足结合律），我们只需要证明最后一个式子即可，最后一个式子通过利用向量叉乘的旋转变换不变性（参照Wikipedia）。

其实最后一个式子很好理解，对于任意v,u∈R3v,u∈R3，它们是任意三维向量，将他们经过同一个旋转，它们的相对位姿与模长都不会改变，所以与u的叉乘仍然是相对它们垂直、大小也不变的三维向量。

旋转向量与旋转矩阵的指数映射

指数映射的数学意义就是罗德里杰斯公式。

对于一个旋转向量a，其对应的矩阵是，则有：

• 指数映射：

• 这个由叉乘时向量转矩阵形式决定，

• 这个右叉乘交换性质决定：

• 矩阵叉乘性质：

• SO(3)的伴随性质： 

• 扰动模型1

• BCH公式