这一部分我们主要再讨论本章剩下的内容，包括幂级数的求和与傅里叶级数的相关问题。

主要内容

一、幂级数的求和

知识点6：求幂级数的和函数

二、傅立叶级数

知识点7：求傅里叶级数（系数）

---

一、幂级数的求和

知识点6：求幂级数的和函数

所谓幂级数的求和，就是求一串幂级数的和函数，这与之前的函数的幂级数展开刚好是互逆的。要解决这个问题，首先，记住常用的7条公式是首要的，其次，就是需要灵活使用逐项积分、逐项微分等操作将形式转化为常用的幂级数展开式，套用公式。

大体步骤：

1. 求收敛域（只有在收敛域内，才有和函数）；
2. 根据形式判断可能会用到的公式；
3. 向着目标形式转化，可能会拆项、逐项积分、逐项微分等；
4. 调整下标，确保可以套用公式后代入；

要点：

1. 熟记七大公式，从左往右为幂级数展开，从右往左是幂级数求和；
2. 在对公式具有一定的熟悉后，根据给出的幂级数特点，选取合适的展开式；
3. 利用逐项积分、逐项微分，只需要和已知的展开式具有相同的形式即可；

例

求下列幂级数的和函数：

解析：

对于 , 我们可以直接套用公式，但是这里形式上有差别，多出来了一个系数n，而这个系数n可以由 求导而来，得到，而x可以自由进出求和符号，于是可以凑出我们想要的形式。

首先，就是求收敛域：

用到的方法就是之前学过的比值法（幂级数的收敛半径的计算公式）

接下来就是逐项微分了，我们只需要，所以多余的x可以提出来。

解析：

这里有多余的系数，只求一次导数是不行的，所以，这个二次系数可以求二阶导数来凑到：

因此还需要添加项。 

这里出现了有分母的系数，自然需要积分（幂函数积分产生分母）

出现了阶乘，而没有交错级数的形式，多半会用到第一个展开式。处理思路与之前的类似：分子中的n^2、n都可以通过求导来凑，因此本题需要拆项分别求和函数。

注意到此级数的形式与的幂级数展开式很像，只不过这里只有它的所有偶次幂，缺省了所有奇次幂，而逐项求导之后可以出现奇次幂，两个级数相加，得到的就是的幂级数展开式。

（6）

（7）

 

（8）

解：

第一步仍然是求收敛域。

算出来收敛域是全体实数域。

接下来就是求和了，给出的级数有交错、有阶乘、有分母，可以考虑三角函数的幂级数展开式。

注意，在逐项微分或者逐项积分、约分之后，有时候需要调整求和初始值，以确保形式上的正确性。我们往往可以具体写出和式，来看看结果是否等价：

二、傅里叶级数

当一个函数具有周期性的时候，我们再将它展开为多项式函数，就不太合适了；我们可以将它展开成同样具有周期性的三角函数。

• 傅里叶级数的展开

知识点7：求傅里叶级数（系数）

 关于系数的计算公式，一定要牢记，求系数的过程，实际上就是求定积分的过程。

（3）式右侧的式子就是我们所说的傅里叶级数。

注意，这里我们使用的记号是~而不是=，原因与泰勒级数那里类似——这个由三角级数诱导出来的傅里叶级数不一定处处收敛，即便收敛也不一定收敛于f(x)。因此我们还需要寻找一个条件，使得上述问题得到解决。

• 狄利克雷条件

这个条件就是狄利克雷条件。它是傅里叶级数收敛的一个充分条件。

•  正弦级数与余弦级数

我们发现，当给出的函数f(x)是以2π为周期的奇函数时，系数中只有  不全为零，也就是说，傅里叶级数只含有正弦项，故将此时的傅里叶级数称为正弦级数。

类似地，有余弦级数之称。

这一点可以用来简化运算。

• 一般周期函数的傅里叶级数

f(x)是以2l为周期的周期函数，

例

（1）以第一题为例，说明计算过程：

主要就是套用公式，比如我们先求出系数a0：

再求系数an：

最后求系数bn:

 

代入傅里叶级数，得到结果，再结合狄利克雷条件，写出最终结果：

（2）

（3）

发现这是一个偶函数，满足余弦级数，可以简化计算：

 

（4）

 

（5）

（6）

有时候题目也会要求我们具体地求一个系数，也就是明确地给定n的值：

例

这个时候只需要将公式中的n换成常数3，计算定积分即可。

 例