窗函数在图像处理中的应用

      上次我初略的讲了一下什么是窗函数，以及窗函数在DSP应用中的例子。之所以要引用窗函数，主要是为了防止突然的截断导致的频谱泄露。频谱的泄露在DIP的频域中也是非常常见的，我这里举三个例子来说明。如果还不了解窗函数的同学请看我写的这篇文章：窗函数（window function）在信号处理当中的应用（一）_松下J27的博客-CSDN博客_matlab高斯窗函数窗函数在信号处理中的应用好久没写博客了。。。哈哈。我喜欢DSP基础研究，上次好不容易在DSP中用到了一次窗函数感觉好棒，分享给大家希望能够对大家有一些些帮助吧。1，从两个重要极限到时域低通滤波器两个重要极限 数学里面常常会把两个非常重要而且非常常见的极限放在一起并称他们为两个重要极限。...https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80050523

例1, 频谱混乱的三角函数图像

下图是一个负40度倾斜的单一频率的正弦函数图像，请注意图中的边界并不是均匀过渡到外界的，都是不连续的跳变。

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%% FFT of 2D wave of trigonometry 
% Length of signal
L = 512;        
% Sampling frequency
FsLow = 300;
% Form sampling vectors
IndexLow = linspace(0,FsLow,L); 

% build 1D sinewave
SineLow = sin(IndexLow);

% translate 1D wave into 2D sinewave
SinewaveL = repmat(SineLow,[L,1]);

% Rotation angle of Sinewave 
Angle = -40;
Irot = imrotate(SinewaveL, Angle, 'loose', 'bilinear');

% figure out the image size of new Sinewave.
Start = floor(size(Irot,1)/4);
Stop = 3*Start;

% image crop
Icrop = Irot(Start:Stop,Start:Stop);

figure;
imshow(Icrop,[]);

     

          下面我们来看看这幅图的频谱会是什么样呢？（下图）哇，怎么会这么乱呢。。。完全无法通过这个频谱图去理解一个具有单一频率的原始信号。 

figure;
imshow(log(1 + abs(fftshift(fft2(Icrop)))),[]);

频谱混乱的原因

究其原因主要有两个：

      第一个重要的原因我在上一篇讲过了，就是一个域（不论是时域还是频域）的不连续导致了另一个域的振荡，拖尾，泄漏。所以下图中的频谱就会看起来非常的混乱。

     第二个原因就是DFT的周期性。当我们在使用MATLAB中的函数FFT或FFT2的时候，我们一定要意识到，我们所做的计算本质上离散傅里叶级数（为什么是级数而不是变换，我会再写一篇文章说明）Discrete Fourier transform（DFT）。要知道，DFT的计算隐含着默认的周期性，这一周期性不论是在时域还是在频域都是无穷的，都是无限循环的，从二维信号上讲，即沿着X方向循环复制，也在Y方向循环复制。下图中用红色方框框出的只是其中的一个周期。

Iperiodic = repmat(Icrop,3,3);
figure;
imshowpair(Iperiodic,repmat((log(abs(fftshift(fft2(Icrop)))+1)), 3, 3),'montage');

       请注意上图中左图中（空间域）余弦信号图和他相邻的图像在红色边缘处的各种不连续（discontinuity）。这种不连续直接导致了右图中（频率域）及其混乱，复杂的频谱。所以，在处理任何图像时，千万不要忽视了图像的边缘。比如说，FFT之前的0填充，这也是一种会经常用到的避免频谱泄漏的有效方式。

汉宁窗

     现在我们对原始图像进行加窗，这里我们选择的是汉宁窗（hanning window）。下图为汉宁窗的时间域函数图像及其频谱特征。

窗函数的参数介绍以及窗函数的选择我自己涉及的不多，但是我推荐有兴趣的读者看看知乎上的这篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554

总的来说，窗函数都比较光滑，就好像一个高斯滑动均值滤波器磨平了原始信号中边缘的不连续。

上图来自维基百科。

请注意上图中我用红框框出的几个重要参数，这是衡量窗函数的三个重要指标。

L = 64;
wvtool(hann(L))

对图像加窗

加窗后的频谱图远比加窗前的更集中，更清晰。

% Window function
Window = hanning(size(Icrop,1))*hanning(size(Icrop,2))';
SinewaveLwindowed = Icrop.*Window;

figure;
imshowpair(Window,SinewaveLwindowed,'montage');

figure;
imshowpair(log(1 + abs(fftshift(fft2(Icrop)))),log(1 + abs(fftshift(fft2(SinewaveLwindowed)))),'montage');

      如果读者还是觉得加窗后的效果不太理想，可以更换窗函数并调整窗函数的参数，最终达到你想要的效果（让频谱的能量更加集中）。下面我改用著名的凯撒窗，看看效果如何。

凯撒窗

% try another window
Beta = 30;
N = 64;
w = kaiser(N,Beta);
wvtool(w)

Window = kaiser(size(Icrop,1),Beta)*kaiser(size(Icrop,1),Beta)';
SinewaveLwindowed = Icrop.*Window;

figure;
imshowpair(Window,SinewaveLwindowed,'montage');

figure;
imshowpair(log(1 + abs(fftshift(fft2(Icrop)))),log(1 + abs(fftshift(fft2(SinewaveLwindowed)))),'montage');

例2, 著名的Cameraman.tiff

      刚才的那个例子中，空间域的不连续是非常明显，显而易见的（TIPS：一个域的不连续导致了另外一个域的频振荡和拖尾，不只是从空间域/时间域到频域是这样，VICE VERSA。）。下面我们在用图像处理中的经典图像，摄影师，来看另外一种情况。在这个例子中，边界上的跳变远没有上一个例子那么明显，但也会引起频谱的泄露，污染了（smear）真实的频谱信息，而这种情况最为常见，最容易被忽视。

下图为cameraman的原图和频谱图，注意频谱图中我用箭头标出的一条白色的中轴线，也是频谱的泄漏造成的。

%% Trial of Cameraman.tif
I = (im2double(imread('cameraman.tif')));
figure;
imshowpair(I,log(abs(fftshift(fft2(I)))+1),'montage');

     产生这根白线的原因主要是，原始图像在DFT周期复制的时候，头顶的蓝天部分较亮，而脚下草坪部分较暗。由于图像横向边缘的灰度值突变（见下图），在频谱图中的Y方向产生了频谱的泄露。当然了，图像的纵向边缘也能看到一些灰度的不平滑过渡，势必也会引起图像频谱在X方向的改变，但在此例中并不明显。

% matrix repeat 
Iperiodic = repmat(I,3,3);
figure;
imshowpair(Iperiodic,repmat((log(abs(fftshift(fft2(I)))+1)), 3, 3),'montage');

下面看看加窗后的图像和加窗后频谱的改变。

频谱图中间的那条白线，没了！

% Window function
Window = hanning(size(I,1))*hanning(size(I,2))';
windowed = I.*Window;

figure;
imshowpair(I,windowed,'montage');

figure;
imshowpair(log(1 + abs(fftshift(fft2(I)))),log(1 + abs(fftshift(fft2(windowed)))),'montage');

例3, 上三角矩阵和下三角矩阵

      理论上讲上三角矩阵和下三角矩阵的频谱都应该都只有一条斜线，不管是左斜还有右斜，但是往往大家看到的上/下三角矩阵的频谱图当中还有一个十字架。这都是因为没有加窗出现了DFT周期性的边界不连续。

注意图中的十字架，这是本不该出现在频谱图中的成分。

下图是加窗后的真实频谱，见下图。

%% Triangle
s = 512;
ItriangleUpper = triu(ones(s),0);

figure;
imshowpair(ItriangleUpper,log(abs(fftshift(fft2(ItriangleUpper)))+1),'montage');

Hanning = hanning(s)*hanning(s)';

ItriangleUpper = ItriangleUpper.*Hanning;
figure;
imshowpair(ItriangleUpper,log(abs(fftshift(fft2(ItriangleUpper)))+1),'montage');

总结

      这篇文章用三个简单的例子，粗略的解释了窗函数在DIP中的应用。实际图像处理的工作中，但凡是用到了频谱操作，很多时候正确的使用窗函数往往是大有裨益的，不要忘了他！

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（全文完）

作者 --- 松下J27

格言摘抄：

        有了我的命令又遵守的，这人就是爱我的。爱我的必蒙我父爱他， 我也要爱他，并且要向他显现。   ------------   《圣经》约翰福音14章21节

*配图与本文无关*

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