柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学分析中的一个重要不等式，它在向量空间、内积空间等多个领域都有广泛应用。对于实数或复数域上的内积空间，柯西-施瓦茨不等式可以表述为：

对于任意向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 在内积空间中，有：
$$|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$$

其中，$⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$ 表示向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的内积，$\Vert \mathbf{u}\Vert$ 和 $\Vert \mathbf{v}\Vert$ 分别表示向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的范数。

证明过程

1. 考虑特殊情况：
   当 $\mathbf{v}=0$ 时，显然不等式成立，因为 $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=0$ 且 $\Vert \mathbf{v}\Vert =0$。

2. 一般情况：
   当 $\mathbf{v}\ne 0$ 时，考虑向量 $\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}$，其中 $\lambda$ 是一个标量。我们选择 $\lambda =\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$。

3. 构造平方和：
   计算向量 $\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}$ 的范数的平方：
   $$\Vert \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}{\Vert }^2=⟨\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v},\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}⟩$$
   展开内积：
   $$\Vert \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}{\Vert }^2=⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩-2\lambda ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩+{\lambda }^2⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩$$
   代入 $\lambda =\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$：
   $$\Vert \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2-2\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}+\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$$
   化简得到：
   $$\Vert \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2-\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$$

4. 非负性：
   由于范数的平方是非负的，即 $\Vert \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}{\Vert }^2\ge 0$，所以：
   $$\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2-\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}\ge 0$$
   这意味着：
   $$\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\ge \frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$$
   乘以 $\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$ 得到：
   $$\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2\ge ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2$$
   取平方根得到：
   $$\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \ge |⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|$$

5. 等号成立条件：
   等号成立当且仅当 $\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}=0$，即 $\mathbf{u}=\lambda \mathbf{v}$，这意味着 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关。