主要内容

本节首先引入了坐标系的概念，利用子空间的一组基，将子空间的任意一个向量用这组基来表示。接着引入了子空间的维数的概念，其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数（也称作秩）和零空间的维数及二者之间的关系。

坐标系

根据上一节的定义，子空间$H$中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的，所以$H$中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。
证：

假设 β = { b 1 , ⋯   , b p } \beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\} β={b1​,⋯,bp​}是$H$的基，$H$中的一个向量$\mathbf{x}$可以由两种方式生成，设：
$$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{b}}_p$$
$$\mathbf{x}=d_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +d_p{\mathbf{b}}_p$$
两式相减得：
$$0=(c_1-d_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(c_p-d_p){\mathbf{b}}_p$$
由于$\beta$是线性无关的，所以上式中的系数必全为0，因此$H$中的一个向量只能通过基的唯一组合进行表示。

定义：

假设 β = { b 1 , ⋯   , b p } \beta = \{\boldsymbol b1,\cdots,\boldsymbol b_p\} β={b1,⋯,bp​}是子空间$H$的一组基，对$H$中的每一个向量$\mathbf{x}$，相对于基$\beta$的坐标是使$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{b}}_p$成立的权$c_1,\cdots ,c_p$，其${\mathbb{R}}^p$中的向量
$${[\mathbf{x}]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ...\\ c_p\end{array}\right]$$
称为$\mathbf{x}$（相对于$\beta$）的坐标向量，或$\mathbf{x}$的$\beta -$坐标向量。

例：

设${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]$，${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$， β = { v 1 , v 2 } \beta = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\} β={v1​,v2​},。由于${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2$线性无关，故$\beta$是 H = S p a n { v 1 , v 2 } H=Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\} H=Span{v1​,v2​}的一组基。判断$\mathbf{x}$是否在$H$中，如果是，求$\mathbf{x}$相对于基$\beta$的坐标向量。

解：

问题的实质是判断下面的方程是否相容：
$$c_1\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$$
经计算，$c_1=2$，$c_2=3$，$[\mathbf{x}{]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$。基$\beta$确定$H$上的一个坐标系，如下图所示：

注意到，虽然$H$中的点也在${\mathbb{R}}^3$中，但它们完全由属于${\mathbb{R}}^2$的坐标向量确定。映射$\mathbf{x}\to [\mathbf{x}{]}_{\beta }$是$H$和${\mathbb{R}}^2$之间保持线性组合关系的一一映射，我们称这种映射是同构的，切$H$与${\mathbb{R}}^2$同构。

一般的，如果 β = { b 1 , ⋯   , b p } \beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\} β={b1​,⋯,bp​}是$H$的基，则映射$\mathbf{x}\to [\mathbf{x}{]}_{\beta }$是使$H$和${\mathbb{R}}^p$的形态一样的一一映射，尽管$H$中的向量可能有多于$p$个元素。

子空间的维数

定义：

非零子空间$H$的维数（用$dimH$表示）是$H$的任意一个基的向量个数。零子空间 { 0 } \{\boldsymbol 0\} {0}的维数定义为零。

${\mathbb{R}}^n$空间维数为$n$，${\mathbb{R}}^n$的每个基由$n$个向量组成。${\mathbb{R}}^3$中一个经过$0$的平面是二维的，一条经过$0$的直线是一维的。

例：

在前一章的内容中，我们观察到，矩阵$A$的零空间的基的数量对应于方程$A\mathbf{x}=0$中自由变量的数量，因此，要确定$NulA$的维数，只需求出$A=0$中自由变量的个数。

定义：

矩阵$A$的秩（记为$rankA$）是$A$的列空间的维数。

因为$A$的主元列形成$ColA$的一个基，故$A$的秩正好是$A$的主元列的个数。
例：

确定下列矩阵的秩：
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -4& 8\\ 4& 7& -4& -3& 9\\ 6& 9& -5& 2& 4\\ 0& -9& 6& 5& -6\end{array}\right]$$

解：

$A$经过行化简，其阶梯形矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -4& 8\\ 0& -3& 2& 5& -7\\ 0& 0& 0& 4& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
可见，$A$有三个主元列（第1，2，4列），因此$rankA=3$

从这个例子中还可以看到，方程$A\mathbf{x}=0$有两个自由变量（由于$A$的五列中只有三个主元列），因此得出如下关系：
定义：

如果一矩阵$A$有$n$列，则$rankA+dimNulA=n$

上述定理被称作秩定理。

下面的定理被称为基定理

设$H$是${\mathbb{R}}^n$的$p$维子空间，$H$中的任何恰好由$p$个元素组成的线性无关集构成$H$的一个基。并且，$H$中任何生成$H$的$p$个向量集也构成$H$的一个基。

秩与可逆矩阵定理

子空间基的线性无关性质可以与逆矩阵发生一些关联，下面是逆矩阵与本节知识关联得到的一些推论

定理：

设$A$是一$n\times n$矩阵，则下面的每个命题与$A$是可逆矩阵的命题等价：
a. $A$的列向量构成${\mathbb{R}}^n$的一个基
b. $ColA={\mathbb{R}}^n$
c. $dimColA=n$
d. $rankA=n$
e. N u l   A = { 0 } Nul \ A = \{\boldsymbol 0\} Nul A={0}
f. $dimNulA=0$