矩阵分析：特征值，相似度对角化，Jordan标准形

1，特征值与特征向量1.1，特征值与特征向量的概念设，如果存在常数和非零的维列向量，使得：则称为的特征值，为的对应于的特征向量。特征向量为非零向量。特征向量与特征值是成对出现的，一个特征值可对应多个特征向量，反之不然。将上式移项：有非零解这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式。，称为的特征矩阵。称为矩阵的特征多项式。称为矩阵的特征方程。的特征值就是的特征方程的根。

燕双嘤

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燕双嘤 · 2021-12-31 08:44:19 发布

1，特征值与特征向量

1.1，特征值与特征向量的概念

设 $\small A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，如果存在常数 $\small \lambda_i$ 和非零的 $\small n$ 维列向量 $\small \xi_i$ ，使得：

$\small A\xi_i=\lambda_i\xi_i$

则称 $\small \lambda_i$ 为 $\small A$ 的特征值， $\small \xi_i$ 为 $\small A$ 的对应于 $\small \lambda_i$ 的特征向量。

特征向量为非零向量。
特征向量与特征值是成对出现的，一个特征值可对应多个特征向量，反之不然。

将上式移项：

$\small (\lambda E-A)x=0$ 有非零解 $\small \Leftrightarrow det(\lambda E-A)=0$

这是 $\small n$ 个未知数 $\small n$ 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 $\small det(\lambda E-A)=0$ 。

$\small A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，称 $\small \lambda E-A$ 为 $\small A$ 的特征矩阵。
称 $\small det(\lambda E-A)$ 为矩阵 $\small A$ 的特征多项式。
称 $\small det(\lambda E-A)=0$ 为矩阵 $\small A$ 的特征方程。
$\small A$ 的特征值就是 $\small A$ 的特征方程的根。
$\small |\lambda I-A|=\lambda ^{n}-(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})\lambda^{n-1}+...+(-1)|A|$
$\small n$ 阶方阵 $\small A$ 在复数范围内一定有 $\small n$ 个特征值。

1.2，特征值和特征向量求法,

（1）求 $\small det(\lambda I-A)=0$ 的 $\small n$ 个根 $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ，它们即为 $\small A$ 的全部特征值。

（2）求解齐次线性方程组 $\small (\lambda_i I-A)x=0$ ，其非零解向量即为 $\small A$ 的对应特征值 $\small \lambda_i$ 的特征向量。

【例1】设 $\small A=\begin{bmatrix} 1 &-2 &2 \\ -2&-2 &4 \\ 2& 4 & -2 \end{bmatrix}$ ，求 $\small A$ 的特征值与特征向量。

【解】因为 $\small A$ 的特征多项式为：

$\small det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & -2\\ 2 &\lambda+2 &-4 \\ -2& -4 &\lambda+2 \end{vmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda+7)$

所以 $\small A$ 的特征值为： $\small \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-7$

当 $\small \lambda_1=\lambda_2=2$ 时，解方程组 $\small (2I-A)x=0$ 。由：

$\small 2I-A=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 2 &4 &-4 \\ -2&-4 & 4 \end{bmatrix}=2I-A=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 0 &0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix}$

得基础解析： $\small p_1=[-2,1,0]^T,p_2=[2,0,1]^T$

所以对应 $\small \lambda_1=\lambda_2=2$ 的全部特征向量为 $\small k_1p_1+k_2p_2$ ，其中 $\small k_1,k_2$ 不同时为0。

当 $\small \lambda_3=-7$ 时，解方程组 $\small (-7I-A)x=0$ 。由：

$\small -7I-A=\begin{bmatrix} -8 & 2 & -2\\ 2& -5 &-4 \\ -2&-4 &-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0.5 \\ 0& 1 &1 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}$

得基础解析： $\small p_3=[-1,-2,2]^T$ ，故对应 $\small \lambda_3=-7$ 的全部特征向量为 $\small k_3p_3,k_3\ne 0$ 。

【例2】设 $\small A=\begin{bmatrix} -1&1 &3\\ 0&-1 &1 \\ 0& 0& 2 \end{bmatrix}$ ，求 $\small A$ 的特征值与特征向量。

因为 $\small A$ 的特征多项式为：

$\small det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda+1 & -1 & -3\\ 0&\lambda+1 &-1 \\ 0&0 &\lambda-2 \end{vmatrix}=(\lambda+1)^2(\lambda-2)$

所以 $\small A$ 的特征值为： $\small \small \lambda_1=\lambda_2=-1,\lambda_3=2$

得基础解析： $\small p_1=[1,0,0]^T$ ，故对应 $\small \lambda_1=\lambda_2=-1$ 的全部特征向量为 $\small k_1p_3,k_1\ne 0$ 。

结论：特征值的线性无关的特征向量个数不超过特征值（特征方程的根）的重数。

1.3，特征值与特征向量性质

代数重数和几何重数

将 $\small |\lambda I-A|$ 表示成不互相同的一次因子方幂乘积的型式：

$\small |\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}...(\lambda-\lambda_t)^{r_t}$

则称 $\small r_i$ 为 $\small A$ 的特征值 $\small \lambda_i$ 的代数重数（简称重数）。

$\small A$ 的特征值 $\small \lambda_i$ 的特征空间： $\small V_{\lambda _i}=\left \{ x\in \mathbb{C}^n|Ax=\lambda_i x \right \}$ ，称 $\small dimV_{\lambda_i}$ 为 $\small A$ 的特征值 $\small \lambda_i$ 的几何重数，表示属于 $\small A$ 的特征值 $\small \lambda_i$ 的线性无关的特征向量的个数。

设 $\small \lambda_i$ 是 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的 $\small r_i$ 重特征值，对应 $\small \lambda_i$ 有 $\small s_i$ 个线性无关的特征向量，则 $\small 1\leqslant s_i\leqslant r_i\leqslant n$ 。

矩阵多项式

设 $\small f(\lambda)$ 是 $\small \lambda$ 的多项式： $\small f(\lambda)=a_s\lambda^s+a_{s-1}\lambda^{s-1}+...+a_1\lambda+a_0$ ，对于 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，规定： $\small f(A)=a_sA^s+a_{s-1}A^{s-1}+...+a_1A+a_0I$ ，称 $\small f(A)$ 为矩阵 $\small A$ 的多项式。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ， $\small A$ 的 $\small n$ 个特征值为： $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 对应的特征向量为 $\small x_1,x_2,...,x_n$ ，又设 $\small f(\lambda)$ 为一多项式，则：

$\small f(A)x_i=f(\lambda_i)x_i,i=1,2,...,n$

即 $\small f(A)$ 的特征值为 $\small f(\lambda_1),f(\lambda_2),...,f(\lambda_n)$ ，对应的特征向量仍为 $\small x_1,x_2,...,x_n$ 。特别的，若 $\small f(A)=0$ ，则所有 $\small f(\lambda_i)=0$ 。

线性无关

设 $\small \lambda_1,\lambda_2,..,\lambda_s$ 是方阵 $\small A$ 的互不相同的特征值， $\small x_1,x_2,...,x_s$ 是分别与之对应的特征向量，则 $\small x_1,x_2,...,x_s$ 线性无关。

设 $\small \lambda_1,\lambda_2,..,\lambda_s$ 是方阵 $\small A$ 的互不相同的特征值， $\small x_{i1},x_{i2},...,x_{ir_i}$ 是对应特征值 $\small \lambda_i$ 的线性无关的特征向量，则向量组 $\small x_{11},x_{12},...,x_{1r_1},x_{21},x_{22},...,x_{2r_2},...,x_{s1},x_{s2},...,x_{sr_s}$ 也线性无关。

设 $\small n$ 阶方阵 $\small A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的特征值为 $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ，则：

$\small \lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
$\small \lambda_1\lambda_2...\lambda_n=detA$
$\small A^T$ 的特征值仍为 $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ，而 $\small A^H$ 的特征值为 $\small \overline{\lambda_1},\overline{\lambda_2},...,\overline{\lambda_n}$
设 $\small A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则0是 $\small A$ 的特征值 $\small \Leftrightarrow det A=0$

设 $\small A=(a_{ij})_{n\times n} \in \mathbb{C}^{n\times n }$ ，称 $\small a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$ 为 $\small A$ 的迹（trace），记为 $\small trA$ ，即 $\small trA=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$ 。

设 $\small A\in \mathbb{C}^{m\times n},B\in \mathbb{C}^{n\times m}$ ，则 $\small tr(AB)=tr(BA)$ 。

PS： $\small AB$ 不一定等于 $\small BA$ ，但是它们的对角线元素之和一定相等。

2，相似对角化

2.1，相似的概念与性质

给定复数域 $\small \mathbb{C}$ 上的 $\small n$ 维线性空间 $\small V$ ，考虑 $\small V$ 上的线性变换 $\small T:V\rightarrow V$ ，给定 $\small V$ 的两组基

$\small (1):\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n;(2):\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$

两组基之间的过渡矩阵记为 $\small P$ ，可得

$\small (\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P$

进而

$\small T(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A$

$\small T(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)B$

进一步

$\small P^{-1}AP=B$

设 $\small A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，若存在可逆矩阵 $\small P\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 使得

$\small P^{-1}AP=B$

则称 $\small A$ 与 $\small B$ 相似，记 $\small A\sim B$ 。

设 $\small A,B,C\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则

自反性： $\small A\sim A$
对称性： $\small A\sim B\Rightarrow B\sim A$
传递性： $\small A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$

设 $\small A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ， $\small A\sim B$ ， $\small f(\lambda)$ 是一多项式，则：

$\small det(A)=det(B),rank(A)=rank(B)$
$\small f(A)\sim f(B)$
$\small det(\lambda I-A)=det(\lambda I-B)$ ，即 $\small A$ 与 $\small B$ 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
$\small trA=trB$

PS：上述四个结论都是矩阵相似的必要而非充分条件。

【例3】

$\small A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{bmatrix}$

证明（3）

$\small A\sim B \Rightarrow$ 存在可逆矩阵 $\small P$ 使得 $\small P^{-1}AP=B$ ，因此

$\small |\lambda I-B|=|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}\lambda I P-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I-A)P|=|P^{-1}||\lambda I-A||P|=|\lambda I-A|$

2.2，相似对角化的判定

对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵、特征值都比较方便。

设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，若 $\small A$ 与一对角矩阵相似，则称 $\small A$ 可对角化。

$\small A$ 可对角化 $\small \Leftrightarrow$ 当且仅当存在 $\small P \in \mathbb{C}^{n \times n}_n$ ，使得 $\small P^{-1}AP=\Lambda =diag\left \{ \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n \right \}$ 。

$\small \Leftrightarrow$ $\small AP=PA$ ，令 $\small P=[p_1,p_2,...,p_n]$ ， $\small P$ 可逆。

$\small \Leftrightarrow$ $\small [Ap_1,Ap_2,...,Ap_n]=[\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,...,\lambda_np_n]$

$\small \Leftrightarrow$ $\small Ap_1=\lambda_1p_1,Ap_2=\lambda_2p_2,...,Ap_n=\lambda_np_n$

$\small \Leftrightarrow$ $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 是 $\small A$ 的 $\small n$ 个特征值， $\small p_1,p_2,...,p_n$ 是对应的特征向量， $\small p_1,p_2,...,p_n$ 线性无关。

$\small \Leftrightarrow$ $\small A$ 有 $\small n$ 个线性无关的特征向量。

即：设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则 $\small A$ 可对角化的充要条件是 $\small A$ 有 $\small n$ 个线性无关的特征向量。

推论1：设 $\small \small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s$ 是 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的所有互异的特征值，其重数分别为 $\small r_1,r_2,...,r_s$ 。若 $\small \small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s$ 的几何重数分别为 $\small r_1,r_2,...,r_s$ ，则 $\small A$ 可对角化。（ $\small dimV_{\lambda_i}=r_i\Leftrightarrow$ 对应 $\small \lambda_i$ 有 $\small r_i$ 个线性无关的特征向量）

推论2：设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，如果 $\small A$ 有 $\small n$ 个不同的特征值，则 $\small A$ 可对角化。

PS1：矩阵 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 可相似对角化 $\small \Leftrightarrow$ $\small A$ 的每个相异特征值的几何重数等于代数重数 $\small \Leftrightarrow$ $\small A$ 的相异特征值的几何重数之和等于 $\small n$ 。

PS2：当 $\small A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ 存在某个特征值，使得其几何重数小于代数重数时，则矩阵不能对角化，比如： $\small A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ 。

【例4】判断下列矩阵是否可对角化，如果是，求相似变换矩阵 $\small P$ 和相应的对角矩阵。

$\small A=\begin{bmatrix} -1 & 1 &0 \\ -4 & 3 &0 \\ 1 &0 &2 \end{bmatrix}$

$\small \because |\lambda I -A|=(\lambda-1)^2(\lambda-2)$

$\small \therefore \lambda_1= \lambda_2=1, \lambda_3=2$

对于单重特征值 $\small \lambda_3=2$ ，几何重数=代数重数=1。

因此只需要考虑多重特征值的情形：

$\small I-A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 \\ 4& -2& 0\\ -1& 0 &-1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0& 1&2 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}$

因此 $\small rank(I-A)=2$ ，故对应 $\small 2$ 重特征值 $\small 1$ 的特征空间的维数为 $\small 1$ ，即特征值 $\small 1$ 的几何重数<代数重数，因此矩阵 $\small A$ 不可对角化。

$\small A=\begin{bmatrix} 2 &1 &1 \\ 2& 3& 4\\ -1&-1 & -2 \end{bmatrix}$

因为 $\small det(\lambda I-A)=(\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda -3)$ ，所以 $\small A$ 的 $\small 3$ 个特征值分别为 $\small \lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=3$

由于 $\small A$ 有 $\small 3$ 个互异的特征值，故 $\small A$ 可对角化。

$\small \lambda_1=1$ 对应的特征方程为 $\small (I-A)x=0$

$\small I-A=\begin{bmatrix} -1 & -1 &-1 \\ -2& -2&-4 \\ 1& 1& 3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 0& 0& 1\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

可得 $\small \lambda_1$ 所对应的一个特征向量为 $\small p_1=[-1,1,0]^T$

类似可求得 $\small \lambda_2=-1,\lambda_3=3$ 所对应的特征向量分别为：

$\small p_2=[0,-1,1]^T,p_3=[-2,-3,1]^T$

令 $\small P=\begin{bmatrix} -1 &0 &-2 \\ 1& -1& -3\\ 0&1 &1 \end{bmatrix}$ ，则有 $\small P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& -1& 0\\ 0&0 &3 \end{bmatrix}$

2.3，相似对角化的应用

【例5】 $\small A=\begin{bmatrix} 1 & 4 &2 \\ 0&-3 & 4\\ 0&4 &3 \end{bmatrix}$ ，求 $\small A^{100}$

$\small \because |\lambda I-A|=(\lambda-1)(\lambda ^2-25),\therefore \lambda_2=5,\lambda_3=-3$

可求得对应 $\small \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 的一个特征向量分别为：

$\small p_1=[1,0,0]^T,p_2=[2,1,2]^T,p_3=[1,-2,1]^T$

令 $\small P=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 0&1 &-2 \\ 0& 2& 1 \end{bmatrix}$ ， $\small P^{-1}AP=\Lambda =\begin{bmatrix} 1& & \\ & 5& \\ & &-5 \end{bmatrix}$

于是 $\small \Lambda ^{100}=(P\Lambda P^{-1})^{100}=P\Lambda ^{100}P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 &5^{100}-1 \\ 0& 5^{100} &0 \\ 0 &0 &5^{100} \end{bmatrix}$

【例6】求解 $\small u_{k+1}=Au_k$ ，其中 $\small A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}$ ， $\small u_0=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$

$\small \because |\lambda I -A|=\lambda^2-\lambda-1,\therefore \lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

由于 $\small \lambda_i I-A=\begin{bmatrix} \lambda_i-1 &-1 \\ -1& \lambda_i \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &-\lambda_i \\ 0& 0 \end{bmatrix}$

可求得对应 $\small \lambda_1,\lambda_2$ 的一个特征向量为：

$\small p_1=[\lambda_1,1]^T,p_2=[\lambda_2,1]^T$

令 $\small P=\begin{bmatrix} \lambda_1 &\lambda_2 \\ 1& 1 \end{bmatrix}$ ，则有 $\small P^{-1}AP=\Lambda =\begin{bmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \end{bmatrix}$

进而 $\small u_k=Au_{k-1}=A^2u_{k-2}=...=A^ku_0=(P\Lambda P^{-1})^ku_0$

$\small =P\Lambda ^kP^{-1}u_0=(p_1,p_2)\begin{bmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}$

$\small =\frac{1}{\sqrt{5}}\lambda_1^kp_1+(-\frac{1}{\sqrt{5}})\lambda_2^kp_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} \lambda_1^{k+1} -\lambda_2^{k+1} \\ \lambda_1^{k} -\lambda_2^{k} \end{bmatrix}$

故Fibonacci数列的通项 $\small F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{1} \right ) ^2- \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{1} \right )^2 \right ]$

【例7】求解一阶常系数微分方程组 $\small \left\{\begin{matrix} \frac{dx_1}{dt}=x_2\\ \frac{dx_2}{dt}=x_3\\ \frac{dx_3}{dt}=-6x_1-11x_2-6x_3 \end{matrix}\right.$

分析问题的解是 $\small x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=c_1e^{\lambda_1 t}p_1+c_2e^{\lambda_2 t}p_2+c_3e^{\lambda_3 t}p_3$

其中 $\small p_1,p_2,p_3$ 为对应于 $\small \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 的特征向量， $\small c_1,c_2,c_3$ 为任意常数。

把微分方程组改写为矩阵形式： $\small \frac{dx}{dt}=Ax$

其中 $\small x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\frac{dx}{dt}=\begin{bmatrix} \frac{dx_1}{dt}\\ \frac{dx_2}{dt}\\ \frac{dx_3}{dt} \end{bmatrix},A=\begin{bmatrix} 0 &1 & 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -11 &-6 \end{bmatrix}$

令 $\small x=Py$

$\small P=\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ -1& -2& -3\\ 1 & 4& 9 \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$

$\small \frac{dy}{dt}=P^{-1}\frac{dx}{dt}=P^{-1}Ax=P^{-1}APy=\begin{bmatrix} -1 &0 &0 \\ 0 & -2& 0\\ 0 &0 &-3 \end{bmatrix}y$

$\small \frac{dy_1}{dt}=-y_1,\frac{dy_2}{dt}=-2y_2,\frac{dy_3}{dt}=-3y_3$

其一般解为： $\small y_1=c_1e^{-t},y_2=c_2e^{-2t},y_3=c_3e^{-3t}$

再由 $\small x=Py$ ，求得原微分方程组的一般解为：

$\small \left\{\begin{matrix} x_1=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}+c_3e^{-3t}\\ x_2=-c_1e^{-t}-2c_2e^{-2t}-3c_3e^{-3t}\\ x_3=c_1e^{-t}+4c_2e^{-2t}+9c_3e^{-3t} \end{matrix}\right.,(c_1,c_2,c_3\in \mathbb{C})$

3，Jordan标准型

3.1，Jordan标准型的概念与性质

Jordan标准型是为解决不能相似对角化的问题而引入的。

形如 $\small J_{r_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i &1 & & \\ & \lambda_i& ... & \\ & & ...&1 \\ & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$ 的矩阵称为特征值 $\small \lambda_i$ 对应的 $\small r_i$ 阶的 $\small Jordan$ 块。有若干个 $\small Jordan$ 块构成的分块对角矩阵：

$\small J=diag\left \{ J_{r_1}(\lambda_1), J_{r_2}(\lambda_2) ,,..., J_{r_s}(\lambda_s) \right \}$ ，称为 $\small Jordan$ 矩阵。

$\small Jordan$ 矩阵与对角矩阵的差异：仅在于它的上对角线（与对角线平行的上面的一个对角线）元素是 $\small 1$ 或 $\small 0$ ，它是一个特殊的上三角矩阵。
$\small Jordan$ 块本身就是一个 $\small Jordan$ 矩阵。
当 $\small r_i>1$ 时， $\small Jordan$ 块 $\small J_{r_i}(\lambda_i)$ 不可对角化。
对角矩阵是一个 $\small Jordan$ 矩阵，它的每个 $\small Jordan$ 块都是 $\small 1$ 阶的 $\small \Leftrightarrow$ $\small A$ 的初等因子都是 $\small 1$ 次的。

$\small Jordan$ 矩阵中不同 $\small Jordan$ 块对应的特征值可能相同。

$\small Jordan$ 块还有下三角的形式。

$\small J_1(2)=[2],J_2(3)=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0 &3 \end{bmatrix},J_3(2)=\begin{bmatrix} 2 &1 &0 \\ 0& 2 & 1\\ 0& 0 &2 \end{bmatrix}$

$\small J_1(2),J_2(3),J_3(2)$ ，分别是 $\small 1,2,3$ 阶的 $\small Jordan$ 矩阵。

$\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & & \\ & J_2(3) & \\ & & J_3(2) \end{bmatrix}$ 是一个6阶的 $\small Jordan$ 矩阵。

$\small Jordan$ 定理：设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则 $\small A$ 与一个 $\small Jordan$ 矩阵 $\small J$ 相似，即存在可逆矩阵 $\small P\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，使得：

$\small P^{-1}AP=J$

且这个 $\small Jordan$ 矩阵 $\small J$ 除 $\small Jordan$ 块的排列次序外由 $\small A$ 唯一确定，此时也称 $\small A=PJP^{-1}$ 为矩阵 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 分解。

矩阵不一定可以相似对角化，但一定可以与 $\small Jordan$ 矩阵相似。
因为相似矩阵有相同的特征值，所以 $\small Jordan$ 标准型的对角线元素 $\small \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s$ 就是矩阵的特征值。
在 $\small Jordan$ 标准型中，不同 $\small Jordan$ 块的对角线元素可能相同，因此特征值 $\small \lambda_i$ 的代数重数 $\small \geqslant \lambda_i$ 对应的某个 $\small Jordan$ 块的阶数。

3.2，Jordan标准型求法

特征向量法：设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$

（1）如果 $\small \lambda_i$ 是 $\small A$ 的单重特征值，则 $\small \lambda_i$ 对应于 $\small 1$ 阶 $\small Jordan$ 块 $\small J_1(\lambda_i)$ ；

（2）如果 $\small \lambda_i$ 是 $\small A$ 的 $\small r_i(r_i\geqslant 1)$ 重特征值，若 $\small s_i=dimV_{\lambda_i}$ ，则对应 $\small \lambda_i$ 就有 $\small s_i$ 个以 $\small \lambda_i$ 为对角元的 $\small Jordan$ 块，且这些 $\small Jordan$ 块的阶数之和等于 $\small r_i$ ；

（3）由 $\small A$ 的所有相异特征值对应的 $\small Jordan$ 块构成 $\small Jordan$ 矩阵即为 $\small A$ 的标准型。

优点：计算简单，并且由已经求得的特征向量可以求得相似变换矩阵。

缺点：当矩阵 $\small A$ 的某个特征值重数较高时，对应的 $\small Jordan$ 块阶数可能无法确定。

$\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_3(\lambda_1) \end{bmatrix},\hat J=\begin{bmatrix} J_2(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_1) \end{bmatrix}$

【例8】求下列矩阵的 $\small Jordan$ 标准型

$\small A=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ 1& 2 &0 \\ -4 &0 & 3 \end{bmatrix}$

已求得 $\small A$ 的特征值为 $\small \lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=1$ ，对应 $\small 2$ 重特征值 $\small \lambda_2=\lambda_3=1$ 只有一个线性无关的特征向量，故 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准型为：

$\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 &0 &0 \\ 0 & 1&1 \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

$\small A=\begin{bmatrix} 3&1 &-1 \\ -2& 0 &2\\ -1 &-1& 3 \end{bmatrix}$

已求得 $\small A$ 的特征值为 $\small \small \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2$ ，对应的线性无关特征向量为 $\small p_1=[-1,1,0]^T,p_2=[1,0,1]^T$

故 $\small A$ 的标准型为：

$\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0&2 &1 \\ 0&0 & 2 \end{bmatrix}$

初等变换法：设 $\small A(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n}$ ，其中 $\small a_{ij}(\lambda)$ 都是 $\small \lambda$ 的多项式，则称 $\small A(\lambda)$ 为 $\small \lambda$ 矩阵或多项式矩阵。对 $\small \lambda$ 矩阵 $\small A(\lambda)$ 进行的如下三种变换称为 $\small \lambda$ 矩阵的初等行（列）变换：

交换 $\small A(\lambda)$ 的两行（列）： $\small r_i\leftrightarrow r_j$ 或 $\small c_i\leftrightarrow c_j$
$\small A(\lambda)$ 的某一行（列）乘以一个非零常数 $\small k$ ： $\small kr_i$ 或 $\small kc_i$
$\small A(\lambda)$ 的某一行（列）同时乘以多项式 $\small \varphi(\lambda)$ 加到另外一行（列）： $\small r_i+\varphi (\lambda)r_j$ 或 $\small c_i+\varphi (\lambda)c_j$

注：对 $\small \lambda$ 的矩阵同样可以定义秩的概念，且在初等变换下 $\small \lambda$ 矩阵的秩不变。

相抵（等价关系）：设 $\small A(\lambda)$ ， $\small B(\lambda)$ 都是 $\small \lambda$ 矩阵，且 $\small A(\lambda)$ 经过初等变换后变为 $\small B(\lambda)$ ，则称矩阵 $\small A(\lambda)$ 与 $\small B(\lambda)$ 相抵。

引理：设 $\small A(\lambda)$ 是非零矩阵，则矩阵 $\small A(\lambda)$ 必须相抵与这样一个 $\small \lambda$ 矩阵 $\small B(\lambda)=[b_{ij}(\lambda)]$ ，其中 $\small b_{11}(\lambda)\ne0$ ，且 $\small b_{11}(\lambda)$ 可以整除 $\small B(\lambda)$ 中的任意元素。

$\small Smith$ 标准形：设 $\small A\in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则 $\small \lambda I-A$ 经过一系列初等变换可化为如下 $\small Smith$ 标准形

$\small S(\lambda)=\begin{bmatrix} d_1(\lambda) & & & \\ & d_2(\lambda) & & \\ & & ... & \\ & & & d_n(\lambda) \end{bmatrix}$

其中， $\small d_i(\lambda)$ 是首 $\small 1$ 多项式（即最高项系数为 $\small 1$ 的多项式）， $\small i=1,2,...,n$ ，且 $\small d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,...,n-1$ 。其中 $\small d_1(\lambda),d_2(\lambda),...,d_n(\lambda)$ 为矩阵 $\small A$ 的不变因子。

$\small Smith$ 标准形的两个特点：

设对角线元素从上到下次数逐次升高。
保持整除性。

$\small Smith$ 标准形的实现途径：初等变换+多项式除法。

【例9】求下列矩阵的 $\small Smith$ 标准形

$\small A_1(\lambda)=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\lambda-1&\lambda \\ \lambda & \lambda^2& -\lambda\\ 1+\lambda^2 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{bmatrix}$

$\small A_1(\lambda)\underset{c_1+c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 2\lambda-1&\lambda \\0 & \lambda^2& -\lambda\\ 1 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{bmatrix}\underset{r_3-r_1}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 2\lambda-1&\lambda \\0 & \lambda^2& -\lambda\\ 0 & \lambda^2-\lambda& -\lambda^2 -\lambda\end{bmatrix}$

$\small ...\underset{c_2\leftrightarrow c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & -\lambda&\lambda^2\\ 0 & -\lambda^2 -\lambda&\lambda^2-\lambda\end{bmatrix}\underset{c_3+\lambda c_2}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & -\lambda&0\\ 0 & -\lambda^2 -\lambda&-\lambda^3-\lambda\end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & \lambda&0\\ 0 & 0&\lambda(\lambda^2+1)\end{bmatrix}$

$\small A_2(\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda-\lambda_i & -1&0\\ 0& \lambda-\lambda_i& -1\\ 0& 0 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix} \underset{c_2+(\lambda-\lambda_i)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} \lambda-\lambda_i & -1&0\\ 0& 0& -1\\ 0& (\lambda-\lambda_i)^2 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix}$

$\small \underset{c_1+(\lambda-\lambda_i)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 0& -1&0\\ 0& 0& -1\\ (\lambda-\lambda_i)^3& (\lambda-\lambda_i)^2 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1& 0&0\\ 0& 1& 0\\0& 0 & (\lambda-\lambda_i)^3\end{bmatrix}$

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ：

（1）对矩阵 $\small \lambda I-A$ 实施初等变换变成 $\small Smith$ 标准形 $\small S(\lambda)=diag\left \{ d_1(\lambda),d_2(\lambda),...,d_n(\lambda) \right \}$ ，求出 $\small A$ 的不变因子： $\small d_1(\lambda),d_2(\lambda),...,d_n(\lambda)$ 。

（2）将 $\small A$ 的次数 $\small >0$ 的不变因子 $\small d_i(\lambda)$ 分解为一次因式方幂的乘积，这些一次因子的方幂称为 $\small A$ 的初等因子： $\small (\lambda-\lambda_1)^{r_1},(\lambda-\lambda_2)^{r_2},...,(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$ 。

（3）写出每个初等因子 $\small (\lambda-\lambda_i)^{r_i}$ 对应的 $\small Jordan$ 块 $\small J_{r_i}(\lambda_i)$ ， $\small 1\leqslant i\leqslant s$ ，由这些 $\small Jordan$ 块构成 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形： $\small J=diag\left \{ J_{r_1}(\lambda_1), J_{r_2}(\lambda_2),..., J_{r_s}(\lambda_s) \right \}$

【例10】求矩阵的 $\small A=\begin{bmatrix} -1 & 0 &1 \\ 1& 2& 0\\ -4& 0 &3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Jordan$ 标准形

$\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda +1 &0 &-1 \\ -1 & \lambda -2&0 \\ 4 &0 & \lambda-3 \end{bmatrix}\underset{c_1+(\lambda+1)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 0 &0 &-1 \\ -1 & \lambda -2& 0\\ (\lambda -1)^2 &0 &\lambda -3 \end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0 &0 &(\lambda -2)(\lambda -1)^2 \end{bmatrix}$

因此 $\small A$ 的不变因子为： $\small d_1(\lambda)=1,d_2(\lambda)=1,d_3(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)^2$

从而 $\small A$ 的初等因子为： $\small (\lambda-2),(\lambda-1)^2$

对应的 $\small Jordan$ 块为： $\small J_1(2),J_2(1)$

故矩阵 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形为： $\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 1& 1\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

【问题】为什么能用初等变换法求矩阵的 $\small Jordan$ 标准形？

（1） $\small \lambda_i$ 对应的 $\small r_i$ 阶的 $\small Jordan$ 块： $\small J_{r_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i &... & \\ & & ... & 1\\ & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$

初等因子为： $\small (\lambda-\lambda_i)^{r_i}$

（2）设方阵 $\small A$ 为分块对角矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} A_1 & & & \\ &A_2 & & \\ & & ... & \\ & & & A_s \end{bmatrix}$ ，则 $\small A_1,A_2,...,A_s$ 的初等因子全体就是 $\small A$ 的全部初等因子。

（3）两个同阶方阵 $\small A$ 和 $\small B$ 相似 $\small \Leftrightarrow$ $\small \lambda I-A$ 与 $\small \lambda I-B$ 相抵 $\small \Leftrightarrow$ $\small A$ 与 $\small B$ 有相同的初等因子或不变因子。

行列式因子法：

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ， $\small \lambda I-A$ 的所有 $\small k$ 阶子式的首 $\small 1$ 最大公因式 $\small D_k(\lambda)$ 称为 $\small A$ 的 $\small k$ 阶行列式因子， $\small k=1,...,n$ 。

行列式因子与不变因子：设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ， $\small D_k(\lambda)$ 是 $\small A$ 的 $\small k$ 阶行列式因子， $\small d_k(\lambda)$ 是 $\small A$ 的不变因子， $\small k=1,2,...,n$ ，则

$\small d_1(\lambda)=D_1(\lambda),d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_{k}(\lambda)},k=2,3,...,n$

设 $\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}$

求出矩阵 $\small \lambda I -A$ 的 $\small n$ 个行列式因子： $\small D_1(\lambda),D_2(\lambda),...,D_n(\lambda)$ 。
由公式 $\small d_1(\lambda)=D_1(\lambda),d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_{k}(\lambda)},k=2,3,...,n$ ，求出 $\small A$ 的不变因子。
求出 $\small A$ 的初等因子和 $\small Jordan$ 标准形。

【例11】求矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 3 &1 &-1 \\ -2& 0& 2\\ -1 &-1 &3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Jordan$ 标准形

$\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda -3 & -1 & 1\\ 2 & \lambda & -2\\ 1& 1 & \lambda -3 \end{bmatrix}$

$\small A$ 的 $\small 1$ 阶行列式因子为 $\small D_1(\lambda)=1$

$\small A$ 的 $\small 2$ 阶子式：

$\small D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2),D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=-2(\lambda-2)$

$\small D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}=-(\lambda-2),D\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=(\lambda-2),...$

$\small A$ 的 $\small 2$ 阶行列式因子为 $\small D_2(\lambda)=(\lambda-2)$

$\small A$ 的 $\small 2$ 阶行列式因子为 $\small \small D_3(\lambda)=(\lambda-2)^3$

因此 $\small A$ 的不变因子为： $\small d_1(\lambda)=1,d_2(\lambda)=(\lambda-2),d_3(\lambda)=(\lambda-2)^2$

故 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形： $\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 2&1 \\ 0&0 &2 \end{bmatrix}$

【例12】求矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} 2 &-1 & 1 &-1 \\ 2 & 2 & -1 & -1\\ 1 & 2 &-1 & 2\\ 0&0 &0 & 3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Jordan$ 标准形

$\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda-2 & 1 &-1 & 1\\ -2&\lambda-2 &1 &1 \\ -1& -2 & \lambda+1&-2 \\ 0& 0&0 &\lambda-3 \end{bmatrix}$

$\small A$ 的三阶子式如下： $\small D\begin{pmatrix} 1,2,3\\1,2,3 \end{pmatrix}=(\lambda-1)^3,D\begin{pmatrix} 1,2,3\\1,2,4 \end{pmatrix}=-(\lambda-3)(2\lambda-5)$

因为 $\small D_3(\lambda)$ 整除每个 $\small 3$ 阶子式，所以 $\small D_3(\lambda)=1$ ，从而 $\small D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1$

由于 $\small d_4(\lambda)=|\lambda I-A|=(\lambda-3)(\lambda-1)^3$ ，因此 $\small A$ 的不变因子为：

$\small d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=d_3(\lambda)=1,d_4(\lambda)=(\lambda -3)(\lambda -1)^3$

从而 $\small A$ 的初等因子为： $\small (\lambda-3),(\lambda-1)^3$

对应的 $\small Jordan$ 块为： $\small J_1(3),J_3(1)$

故矩阵 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形为： $\small J=\begin{bmatrix} J_1(3) & \\ & J_3(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &0 & 0 &0 \\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0 &1 &1 \\ 0& 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

3.3，Jordan标准型的应用

【例13】求矩阵 $\small A=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ 1& 2 &0 \\ -4& 0& 3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Jordan$ 标准形及所使用的相似变换矩阵

可求得 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形为：

$\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 1 & 1\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

设相似变换矩阵 $\small P=\left [ p_1,p_2,p_3 \right ]$ ，由 $\small P^{-1}AP=J$ ，即 $\small AP=PJ$ 得：

$\small A\left [ p_1,p_2,p_3 \right ] =\left [ p_1,p_2,p_3 \right ]\begin{bmatrix} 2& & \\ &1 &1 \\ & & 1 \end{bmatrix}$ ，即

$\small \left\{\begin{matrix} Ap_1=2p_1\\ Ap_2=p_2\\ Ap_3=p_2+p_3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (2I-A)p_1=0\\ (I-A)p_2=0\\ (I-A)p_3=-p_2 \end{matrix}\right.$

解线性方程组 $\small (I-A)x=-p_2$ ，即

$\small \begin{bmatrix} 2 &0 &-1 \\ -1 &-1 & 0\\ 4& 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}\Rightarrow p_3=\begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}$

所以， $\small P=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& -1 &-1 \\ 0& 2&1 \end{bmatrix},P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 2 & & \\ &1 &1 \\ & & 1 \end{bmatrix}$

【例14】求矩阵 $\small \small A=\begin{bmatrix} 3 &1 &-1 \\ -2& 0 &2 \\ -1& 1& 3 \end{bmatrix}$ 的 $\small Jordan$ 标准形及所使用的相似变换矩阵

求得 $\small A$ 的 $\small Jordan$ 标准形为： $\small J=\begin{bmatrix} 2 & & \\ &2 &1 \\ & & 2 \end{bmatrix}$

设相似变换矩阵 $\small P=\left [ p_1,p_2,p_3 \right ]$ ，则由 $\small P^{-1}AP=J$ ，即 $\small AP=PJ$ 得：

$\small \left\{\begin{matrix} Ap_1=2p_1\\ Ap_2=2p_2\\ Ap_3=p_2+2p_3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (2I-A)p_1=0\\ (2I-A)p_2=0\\ (2I-A)p_3=-p_2 \end{matrix}\right.$

因此 $\small p_1,p_2$ 是对应特征值 $\small 2$ 的李你哥哥线性无关的特征向量，而对应特征值 $\small 2$ 的广义特征向量 $\small p_3$ 由求解非齐次线性方程组 $\small (2I-A)x=-p_2$ 得到：

可以求得特征值 $\small 2$ 所对应的两个线性无关的特征向量为： $\small \left [ -1,1,0 \right ]^T,\left [ 1,0,1 \right ]^T$

可取 $\small p_1=\left [ -1,1,0 \right ]^T,p_2=\left [ 1,0,1 \right ]^T$ ，则 $\small (2I-A)x=-p_2$ 无解。

为了是的该方程有解，需要重新选择 $\small p_2$ ，设 $\small p_2=k_1\left [ -1,1,0 \right ]^T+k_2\left [ 1,0,1 \right ]^T$

$\small \left [ 2I-A,-p_2 \right ]=\begin{bmatrix} -1 &-1 &1 &k_1-k_2 \\ 2& 2& -2& -k_1\\ 1&1 &-1 &-k_2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &1 &-1 &-k_2 \\ 0& 0& 0& 2k_2-k_1\\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}$

因此，当 $\small k_1=2k_2$ 时 $\small \left [ 2I-A \right ]x=-p_2$ 的解向量 $\small p_3=\left [ -1,0,0 \right ]^T$ ，故所有的相似变换矩阵为： $\small P=\begin{bmatrix} -1 &-1 &-1 \\ 1& 2& 0\\ 0& 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\small Jordan$ 标准形的幂

对于 $\small r_i$ 阶 $\small Jordan$ 块 $\small J_i=\begin{bmatrix} \lambda_i &1 & & \\ & \lambda_i& ... & \\ & &... &1 \\ & & &\lambda_i \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$ ，有 $\small J_i^k=\begin{bmatrix} \lambda_i^k &C_k^1\lambda_i^{k-1} & C_k^2\lambda_i^{k-2} &... &C_k^{r_i-1}\lambda_i^{k-r_i+1} \\ & \lambda_i^k &C_k^1\lambda_i^{k-1} & ...&C_k^{r_i-2}\lambda_i^{k-r_i+2} \\ & & ... & ...&C_k^1\lambda_i^{k-1} \\ & & & ... & \\ & & & & \lambda_i^k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' & \frac{1}{2!}(\lambda^k)'' &... &\frac{1}{(r_i-1)!}(\lambda^k)^{(r_i-1)} \\ & \lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' &... &\frac{1}{(r_i-2)!}(\lambda^k)^{(r_i-2)} \\ & & ...& ...& ...\\ & & &\lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' \\ & & & & \lambda^k \end{bmatrix}_{\lambda=\lambda_i}$

其中 $\small C_k^i=\frac{k!}{i!(k-i)!}$

对于 $\small Jordan$ 矩阵 $\small J=\begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & ...& \\ & & & J_s \end{bmatrix}$ ，有 $\small J^k=\begin{bmatrix} J_1^k & & & \\ & J_2^k & & \\ & & ...& \\ & & & J_s^k\end{bmatrix}$

设 $\small A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则由 $\small Jordan$ 分解定理知存在可逆矩阵 $\small P\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 使得

$\small P^{-1}AP=J$ ，即 $\small A=PJP^{-1}$

从而 $\small A^k=PJ^kP^{-1}$

【例15】设 $\small A=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ 1& 2& 0\\ -4& 0 &3 \end{bmatrix}$ ，求 $\small A^k$

可求得 $\small P=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -1& -1 & 1\\ 2& 1 &0 \end{bmatrix}$ ， $\small P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 1 &1 & \\ & 1& \\ & & 2 \end{bmatrix}$

故 $\small A^k=PJ^kP^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1& -1 & 1\\ 2& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &k & \\ &1 & \\ & & 2^k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -1& -1& 1\\ 2& 1 & 0 \end{bmatrix}$

【例16】求解以及诶线性常系数微分方程组 $\small \left\{\begin{matrix} \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2-x_3\\ \frac{dx_2}{dt}=-2x_1+2x_3\\ \frac{dx_3}{dt}=-x_1-x_2+3x_3 \end{matrix}\right.$

把微分方程改写为矩阵形式 $\small \frac{dx}{dt}=Ax$

其中 $\small x\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$ ， $\small \frac{dx}{dt}=\begin{bmatrix} \frac{dx_1}{dt}\\ \frac{dx_2}{dt}\\ \frac{dx_3}{dt} \end{bmatrix}$ ， $\small A=\begin{bmatrix} 3 &1 &-1 \\ -2& 0& 2\\ -1& -1 &3 \end{bmatrix}$

令 $\small x=Py$ ，这里

$\small P=\begin{bmatrix} -1 &-1 &-1 \\ 1& 2& 0\\ 0& 1 &0 \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix}$

$\small \frac{dy}{dt}=P^{-1}\frac{dx}{dt}=P^{-1}Ax=P^{-1}APy=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 2 & 1\\ 0&0 &2 \end{bmatrix}y$

从而 $\small \frac{dy_1}{dt}=2y_1,\frac{dy_2}{dt}=2y_2+y_3,\frac{dy_3}{dt}=2y_3$

进一步可求得 $\small y_1=c_1e^{2t},y_3=c_3e^{2t}$

代入第 $\small 2$ 个方程得 $\small \frac{dy_2}{dt}=2y_2+c_3e^{2t}$

进一步求解 $\small y_2=e^{2t}(\int c_3e^{2t}e^{-2t}dt+c_3)=e^{2t}(c_2+c_3t)$

由 $\small x=Py$ 求得原微分方程组的一般解为

$\small \left\{\begin{matrix} x_1=-e^{-2t}(c_1+c_2+c_3+c_3t)\\ x_2=e^{2t}(c_1+2c_2+2c_3t)\\ x_3=e^{2t}(c_2+c_3t) \end{matrix}\right.(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{C})$