概率基础——几何分布

介绍

在统计学中，几何分布是描述了在一系列独立同分布的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数的概率分布。在连续抛掷硬币的试验中，每次抛掷结果为正面向上的概率为$p$，反面向上的概率为$1-p$。几何随机变量 $X$表示连续抛掷硬币直到第一次出现正面向上的试验次数。

理论及公式

几何分布的概率质量函数（PMF）为：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}\times p$$

其中，$k$是试验次数，$p$ 是每次试验成功（正面向上）的概率。
几何分布的期望和方差可以通过其概率质量函数得到。设几何随机变量为 $X$，表示第一次成功所需的试验次数。

1. 期望（均值）：

$$E(X)=\frac{1}{p}$$

2. 方差：

$$Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

其中，$p$是每次试验成功（正面向上）的概率。

这些公式可以帮助我们计算几何分布的期望和方差，从而更好地理解该分布的特征和性质。

示例与绘图

接下来，我们将使用Python来实现绘制几何分布的概率质量函数图。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geom

fig, ax = plt.subplots(2, 1)
params = [0.5, 0.3]

x = range(1, 11)

for i in range(len(params)):
    geom_rv = geom(params[i])
    
    ax[i].plot(x, geom_rv.pmf(x), 'ro', lw=5, alpha=0.6, label='Geometric PMF')
    ax[i].vlines(x, 0, geom_rv.pmf(x), colors='r')
    ax[i].set_xlim(0, 10)
    ax[i].set_ylim(0, 0.6)
    ax[i].set_title('p = %.2f' % params[i])
    ax[i].set_xticks(x)
    ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6])
    ax[i].grid(ls='--')
plt.show()

运行以上代码，将会得到一个几何分布的概率质量函数图。从图中可以看出，随着试验次数的增加，成功的概率逐渐减小，但总体上呈指数下降的趋势。这是因为每次试验成功的概率$p$乘以$(1-p{)}^{k-1}$，随着$k$的增加，$(1-p{)}^{k-1}$的值逐渐减小，从而导致整体概率下降。

from scipy.stats import geom
import matplotlib.pyplot as plt

x = range(1, 20)
geom_rv = geom(p=0.5)
geom_rvs = geom_rv.rvs(size=100000)
plt.hist(geom_rvs, bins=20, density=True, alpha=0.75, edgecolor='black')
plt.gca().axes.set_xticks(range(1, 20))

mean, var, skew, kurt = geom_rv.stats(moments='mvsk')
print("Mean:", mean)
print("Variance:", var)
plt.grid(ls='--')
plt.show()

总结

本文介绍了几何分布及Python实现，利用了函数包的各个方法计算出各个理论统计值，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本算都是相等的。