8.三角函数

（1）常见的放缩

$$\begin{array}{rl}& x-\frac{x^3}{6}\le \sin x\le x(x\ge 0)\\ & \\ & \cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2(x\in \mathbb{R})\\ & \end{array}$$

[证明]：令$u(x)=x-\sin x(x\ge 0)$

$u^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0,u(x)\ge u(0)=0$，于是$x\ge \sin x(x\ge 0)$

考虑到$t\ge 0$时$u(t)\ge 0$，于是：
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{x}u(t)dt& ={\int }_0^x(t-\sin t)dt\\ & =[\frac{1}{2}{t}^2+\cos t{]}_{t=x}-[\frac{1}{2}{t}^2+\cos t{]}_{t=0}\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+\cos x-1\ge 0\end{array}$$
于是：$\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2(x\ge 0)$

由偶函数的对称性可知$x<0$时，也有$\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2(x\ge 0)$

从而：$\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2(x\in \mathbb{R})$

令$p(x)=\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1\ge 0$

同理：
$${\int }_0^{x}p(t)dt=\sin x+\frac{1}{6}{x}^3-x\ge 0$$
于是：
$$\sin x\ge x-\frac{1}{6}{x}^3(x\ge 0)$$
证毕。

（2）练习

$Pra.8.1$

已知函数$f(x)=\sin x+\frac{x^3}{6}-mx.$

（1）若$f(x)$在$[0,+\infty )$上单增，求实数$m$的取值范围；

（2）若对于$\forall x\in [0,+\infty )$，不等式
$$\sin x-\cos x\le e^{ax}-2$$
恒成立，求$a$的取值范围.

• $Solution$：见指对同构，用到放缩$x-\sin x\ge 0(x\ge 0)$

$Pra.8.2$[2020年全国II卷]

已知函数$f(x)={\sin }^{2}x\sin 2x$.

（1）讨论$f(x)$在区间$(0,\pi )$的单调性；

（2）证明：$|f(x)|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$；

（3）设$n\in N^{\ast }$，证明：
$${\sin }^{2}x\cdot {\sin }^{2}2x\cdot {\sin }^{2}4x...\cdot {\sin }^2{2}^{n}x\le \frac{3^n}{4^n}{\sin }^{2}x\cdot {\sin }^{2}2x\cdot {\sin }^{2}4x...\cdot {\sin }^2{2}^{n}x\le \frac{3^n}{4^n}$$