在多级放大电路中含有多个放大管，因而在高频等效电路中就含有多个 $C_{\pi }^{\prime }$（或 $C_{gs}^{\prime }$），即有多个低通电路。在阻容耦合放大电路中，如有多个耦合电容或旁路电容，则在低频等效电路中就含有多个高通电路。对于含有多个电容回路的电路，如何求解截止频率呢？电路的截止频率与每个电容回路的时间常数有什么关系呢？

一、多级放大电路频率特性的定性分析

设一个 $N$ 级放大电路各级的电压放大倍数分别为 ${\dot{A}}_{u1}$，${\dot{A}}_{u2}$，$\cdots$，${\dot{A}}_{uN}$，则该电路的电压放大倍数$${\dot{A}}_u=\prod _{k=1}^N{\dot{A}}_{uk}(\mathrm{5.5.1})$$对数幅频特性和相频特性表达式为$$\{\begin{array}{c}20\lg |{\dot{A}}_u|=\sum _{k=1}^{N}20\lg |{\dot{A}}_{uk}|(\mathrm{5.5.2}a)\\ \phi =\sum _{k=1}^N{\phi }_k(\mathrm{5.5.2}b)\end{array}$$即该电路的增益为各级放大电路增益之和，相移也为各级放大电路相移之和。
设组成两级放大电路的两个单管共射放大电路具有相同的频率响应，${\dot{A}}_{u1}={\dot{A}}_{u2}$；即它们的中频电压增益 ${\dot{A}}_{um1}={\dot{A}}_{um2}$，下限频率 $f_{L1}=f_{L2}$，上限频率 $f_{H1}=f_{H2}$；故整个电路的中频电压增益$$20\lg |{\dot{A}}_u|=20\lg |{\dot{A}}_{um1}\cdot {\dot{A}}_{um2}|=40\lg |{\dot{A}}_{um1}|$$当 $f=f_{L1}$ 时，$|{\dot{A}}_{ul1}|=|{\dot{A}}_{ul2}|=\frac{|{\dot{A}}_{um1}|}{\sqrt{2}}$，所以$$20\lg |{\dot{A}}_u|=40\lg |{\dot{A}}_{um1}|-40\lg \sqrt{2}$$说明增益下降 6 dB，并且由于 ${\dot{A}}_{u1}$ 和 ${\dot{A}}_{u2}$ 均产生 +45° 的附加相移，所以 ${\dot{A}}_u$ 产生 +90° 的附加相移。根据同样的分析可得，当 $f=f_{H1}$ 时，增益也下降 6 dB，但所产生的附加相移为 -90°。因此，两级放大电路和组成它的单级放大电路的波特图如图5.5.1所示。根据截止频率的定义，在幅频特性中找到使增益下降 3 dB 的频率就是两级放大电路的下限频率 $f_L$ 和上限频率 $f_H$，如图中所标注。显然，$f_L>f_{L1}(f_{L2})$，$f_H<f_{H1}(f_{H2})$，因此两级放大电路的通频带比组成它的单级放大电路窄。上述结论具有普遍意义。对于一个 $N$ 级放大电路，设组成它的各级放大电路的下限截止频率分别为 $f_{L1}$，$f_{L2}$，$\cdots$，$f_{LN}$，上限截止频率分别为 $f_{H1}$，$f_{H2}$，$\cdots$，$f_{HN}$，通频带分别为 $f_{bw1}$，$f_{bw2}$，$\cdots$，$f_{bwN}$；该多级放大电路的下限截止频率为 $f_L$，上限截止频率为 $f_H$，通频带为 $f_{bw}$；则$$\{\begin{array}{c}{f}_L>f_{Lk}(k=1\sim N)(\mathrm{5.5.3}a)\\ f_H<f_{Hk}(k=1\sim N)(\mathrm{5.5.3}b)\\ f_{bw}<f_{bwk}(k=1\sim N)(\mathrm{5.5.3}b)\end{array}$$

二、截止频率的估计

1、下限频率 $f_L$

将式（5.5.1）中的 ${\dot{A}}_{uk}$ 用低频电压放大倍数 ${\dot{A}}_{ulk}$ 的表达式代入并取模，得出多级放大电路低频段的电压放大倍数为$$|{\dot{A}}_{ul}|=\prod _{k=1}^N\frac{|{\dot{A}}_{umk}|}{\sqrt{1+(\frac{f_{Lk}}{f}{)}^2}}$$根据 $f_L$ 的定义，当 $f=f_L$ 时$$|{\dot{A}}_{ul}|=\frac{\prod _{k=1}^N|{\dot{A}}_{umk}|}{\sqrt{2}}$$即$$\prod _{k=1}^N\sqrt{1+(\frac{f_{Lk}}{f_L}{)}^2}=\sqrt{2}$$等式两边取平方，得$$\prod _{k=1}^N[1+(\frac{f_{Lk}}{f_L}{)}^2]=2$$展开上式，得$$1+\sum _{k=1}^N(\frac{f_{Lk}}{f_L}{)}^2+高次项=2$$由于 $f_{Lk}/f_L$ 小于 1，可将高次项忽略，得出$$f_L\approx \sqrt{\sum _{k=1}^N{f}_{Lk}^2}(\mathrm{5.5.4})$$如加上修正系数，即$$f_L\approx 1.1\sqrt{\sum _{k=1}^N{f}_{Lk}^2}(\mathrm{5.5.5})$$

2、上限频率 $f_H$

将式（5.5.1）中的 ${\dot{A}}_{uk}$ 用高频电压放大倍数 ${\dot{A}}_{uhk}$ 的表达式代入并取模，得$$|{\dot{A}}_{uh}|=\prod _{k=1}^N\frac{|{\dot{A}}_{umk}|}{\sqrt{1+(\frac{f}{f_{Hk}}{)}^2}}$$根据 $f_H$ 的定义，当 $f=f_H$ 时$$|{\dot{A}}_{uh}|=\frac{\prod _{k=1}^N|{\dot{A}}_{umk}|}{\sqrt{2}}$$即$$\prod _{k=1}^N\sqrt{1+(\frac{f_H}{f_{Hk}}{)}^2}=\sqrt{2}$$等式两边取平方，得$$\prod _{k=1}^N[1+(\frac{f_H}{f_{Hk}}{)}^2]=2$$展开等式，得$$1+\sum _{k=1}^N(\frac{f_H}{f_{Hk}}{)}^2+高次项=2$$由于 $f_H/f_{Hk}$ 小于1，所以可以忽略高次项，得出 $f_H$ 的近似表达式$$\frac{1}{f_H}\approx \sqrt{\sum _{k=1}^N\frac{1}{f_{Hk}^2}}$$如加上修正系数，则得$$\frac{1}{f_H}\approx 1.1\sqrt{\sum _{k=1}^N\frac{1}{f_{Hk}^2}}(\mathrm{5.5.6})$$根据以上分析可知，若两级放大电路是由两个具有相同频率特性的单管放大电路组成，则其上、下限频率分别为$$\{\begin{array}{c}\frac{1}{f_H}\approx 1.1\sqrt{\frac{2}{f_{H1}^2}}，f_H\approx \frac{f_{H1}}{1.1\sqrt{2}}\approx 0.643f_{H1}(\mathrm{5.5.7}a)\\ f_L\approx 1.1\sqrt{2}{f}_{L1}\approx 1.56f_{L1}(\mathrm{5.5.7}b)\end{array}$$对各级具有相同频率特性的三级放大电路，其上、下限频率分别为$$\{\begin{array}{c}\frac{1}{f_H}\approx 1.1\sqrt{\frac{3}{f_{H1}^2}}，f_H\approx \frac{f_{H1}}{1.1\sqrt{3}}\approx 0.52f_{H1}(\mathrm{5.5.8}a)\\ f_L\approx 1.1\sqrt{3}{f}_{L1}\approx 1.91f_{L1}(\mathrm{5.5.8}b)\end{array}$$可见，三级放大电路的通频带几乎是单级电路的一半。放大电路的级数愈多，频带愈窄。
在多级放大电路中，若某级的下限频率远高于其它各级的下限频率，则可认为整个电路的下限频率近似为该级的下限频率；同理，若某级的上限频率远低于其它各级的上限频率，则可认为整个电路的上限频率近似为该级的上限频率。因此式（5.5.5）、（5.5.6）多用于各级截止频率相差不多的情况。此外，对于有多个耦合电容和旁路电容的单管放大电路，在分析下限频率时，应先求出每个电容所确定的截止频率，然后利用式（5.5.5）求出电路的下限频率。

【例5.5.1】已知某电路的各级均为共射放大电路，其对数幅频特性如图5.5.2所示。试求解下限频率 $f_L$、上限频率 $f_H$ 和电压放大倍数 ${\dot{A}}_u$。解： 由图5.5.2可知
（1）频率特性曲线的低频段只有一个拐点，且低频段曲线斜率为 $20\text{dB}/$十倍频，说明影响低频特性的只有一个电容，故电路的下限频率为 $10\text{Hz}$。
（2）频率特性曲线的高频段只有一个拐点，且高频段曲线斜率为$-60\text{dB}/$十倍频，说明影响高频特性的有三个电容，即电路为三级放大电路，且每一级的上限频率均为 $2\times 10^5\text{Hz}$，所以$$f_H\approx 0.52f_{H1}=104\text{kHz}$$（3）因各级均为共射电路，所以在中频段输出电压与输入电压相位相反。因此，电压放大倍数$${\dot{A}}_u=\frac{-10^4}{(1+\frac{10}{jf})(1+j\frac{f}{2\times 10^5}{)}^3}或{\dot{A}}_u=\frac{-10^{3}jf}{(1+j\frac{f}{10})(1+j\frac{f}{2\times 10^5}{)}^3}$$

【例5.5.2】如下图所示 $Q$ 点稳定电路中，已知 $C_1=C_2=C_e$，其余参数选择合适，电路在中频段工作正常。试问：电路的下限频率决定于哪个电容？为什么？解： 考虑到 $C_1$、$C_2$、$C_e$ 的作用，图示电路的低频等效电路如图5.5.3(a)所示。在考虑某一电容对频率响应的影响时，应将其它电容做理想化处理，即将其他耦合电容或旁路电容视为短路。比较三个电容所在回路的等效电阻，数值最小的说明该电容的时间常数最小，因而它所确定的下限频率最高，若能判断出这个下限频率远高于其它两个，则说明整个电路的下限频率就是该频率。在考虑 $C_1$ 对低频特性的影响时，应将 $C_2$、$C_e$ 短路。图(b)所示是 $C_1$ 所在回路的等效电路，其时间常数$${\tau }_1=(R_s+R_{b1}//R_{b2}//r_{be})C_1=(R_s+R_i)C_1(\mathrm{5.5.9})$$在考虑 $C_2$ 对低频特性的影响时，应将 $C_1$、$C_e$ 短路。图($c$)所示是 $C_2$ 所在回路的等效电路，其时间常数$${\tau }_2=(R_c+R_L)C_2(\mathrm{5.5.10})$$式（5.5.9）与（5.5.10）在本质上是相同的，因为倘若电路的负载是下一级放大电路，则式（5.5.10）中的 $R_L$ 即为后级的输入电阻 $R_i$，而 $R_c$ 正是后级电路的信号源内阻 $R_s$。
在考虑 $C_e$ 对低频特性的影响时，应将 $C_1$、$C_2$ 短路。图(d)所示是 $C_e$ 所在回路的等效电路。从 $C_e$ 两端向左看的等效电阻是射极输出器的输出电阻，因此它的时间常数$${\tau }_e=(R_e//\frac{r_{be}+R_{b1}//R_{b2}//R_s}{1+\beta })C_e(\mathrm{5.5.11})$$设 $C_1$、$C_2$、$C_e$ 所在回路所确定的下限频率分别为 $f_{L1}$、$f_{L2}$、$f_{Le}$。比较时间常数 ${\tau }_1$、${\tau }_2$、${\tau }_e$，不难看出，当取 $C_1=C_2=C_e$ 时，${\tau }_e$ 将远小于 ${\tau }_1$、${\tau }_2$，即 $f_{Le}$ 远大于 $f_{L1}$、$f_{L2}$，因此可以认为 $f_{Le}$ 就约为该电路的下限频率，即$$f_L\approx f_{Le}=\frac{1}{2\pi \tau }=\frac{1}{2\pi (R_e//\frac{r_{be}+R_{b1}//R_{b2}//R_s}{1+\beta })C_e}$$从另一角度考虑，为改善电路的低频特性，$C_e$ 的容量应远大于 $C_1$、$C_2$。当 $f_{L1}$、$f_{L2}$ 和 $f_{Le}$ 的数值相差不大时，可用式（5.5.5）求解电路的 $f_L$。