机器学习——回归
线性回归（Linear Regression）是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
目录
1、回归的概念（Regression、Prediction）
1、批量梯度下降（Batch Gradient Descent,BGD）：
2、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent,SGD）：
3、小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent,MBGD）：
一、线性回归
1、回归的概念（Regression、Prediction）
- 如何预测上海浦东的房价？
- 未来的股票市场走向？
线性回归（Linear Regression）是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
2、符号约定
- m 代表训练集中样本的数量
- n 代表特征的数量
- x 代表特征/输入变量
- y 代表目标变量/输出变量
- (x,y) 代表训练集中的样本
- (x^(i),y^(i)) 代表第i个观察样本
- ℎ 代表学习算法的解决方案或函数也称为假设（hypothesis）
- ̂┬y=ℎ(x),代表预测的值
建筑面积
总层数
楼层
实用面积
房价
143.7
31
10
105
36200
162.2
31
8
118
37000
199.5
10
10
170
42500
96.5
31
13
74
31200
……
……
……
……
……
x^(i)是特征矩阵中的第i行，是一个向量。
x_j^(i)代表特征矩阵中第 i 行的第 j 个特征
3、算法流程
损失函数(Loss Function):
度量单样本预测的错误程度，损失函数值越小，模型就越好。常用的损失函数包括：0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等。
代价函数(Cost Function):
度量全部样本集的平均误差。常用的代价函数包括均方误差、均方根误差、平均绝对误差等。
目标函数(Objective Function):
代价函数加正则化项，最终要优化的函数。
x 和 y 的关系：
可以设x_0=1，则
损失函数采用平方和损失：
要找到一组 w(w_0,w_1,w_2,...,w_n) ，
4、最小二乘法（LSM）
要找到一组 w(w_0,w_1,w_2,...,w_n) ，使得残差平方和最小。转为矩阵表达形式，令
其中X为m行n+1列的矩阵（m为样本个数，n为特征个数），w为n+1行1列的矩阵(包含了w_0)，Y为m行1列的矩阵，则 
注：
（可由数学推导）
为最小化，接下来对J(w)偏导，
由于中间两项互为转置:
需要用到以下几个矩阵的求导结论:
二、梯度下降
梯度下降的三种形式
1、批量梯度下降（Batch Gradient Descent,BGD）：
梯度下降的每一步中，都用到了所有的训练样本
2、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent,SGD）：
度下降的每一步中，用到一个样本，在每一次计算之后便更新参数 ，而不需要首先将所有的训练集求和
3、小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent,MBGD）：
梯度下降的每一步中，用到了一定批量的训练样本
每计算常数b次训练实例，便更新一次参数 w
b=1（随机梯度下降,SGD）
b=m（批量梯度下降,BGD）
b=batch_size，通常是2的指数倍，常见有32,64,128等。（小批量梯度下降,MBGD）
梯度下降与最小二乘法比较
梯度下降：
需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型。
最小二乘法：
不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算(X^TX)^−1，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n^3)，通常来说当n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。
数据归一化/标准化
为什么要标准化/归一化？
提升模型精度：不同维度之间的特征在数值上有一定比较性，可以大大提高分类器的准确性。
加速模型收敛：最优解的寻优过程明显会变得平缓，更容易正确的收敛到最优解。
归一化（最大 - 最小规范化）
将数据映射到[0,1]区间
数据归一化的目的是使得各特征对目标变量的影响一致，会将特征数据进行伸缩变化，所以数据归一化是会改变特征数据分布的。
Z-Score标准化
处理后的数据均值为0，方差为1
数据标准化为了不同特征之间具备可比性，经过标准化变换之后的特征数据分布没有发生改变。
就是当数据特征取值范围或单位差异较大时，最好是做一下标准化处理。
需要做数据归一化/标准化
线性模型，如基于距离度量的模型包括KNN(K近邻)、K-means聚类、感知机和SVM。另外，线性回归类的几个模型一般情况下也是需要做数据归一化/标准化处理的。
不需要做数据归一化/标准化
决策树、基于决策树的Boosting和Bagging等集成学习模型对于特征取值大小并不敏感，如随机森林、XGBoost、LightGBM等树模型，以及朴素贝叶斯，以上这些模型一般不需要做数据归一化/标准化处理。
三、正则化
1、过拟合和欠拟合
2、过拟合的处理
1.获得更多的训练数据
使用更多的训练数据是解决过拟合问题最有效的手段，因为更多的样本能够让模型学习到更多更有效的特征，减小噪声的影响。
2.降维
即丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。
3.正则化
正则化(regularization)的技术，保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude），它可以改善或者减少过拟合问题。
4.集成学习方法
集成学习是把多个模型集成在一起，来降低单一模型的过拟合风险。
3、 欠拟合的处理
1.添加新特征
当特征不足或者现有特征与样本标签的相关性不强时，模型容易出现欠拟合。通过挖掘组合特征等新的特征，往往能够取得更好的效果。
2.增加模型复杂度
简单模型的学习能力较差，通过增加模型的复杂度可以使模型拥有更强的拟合能力。例如，在线性模型中添加高次项，在神经网络模型中增加网络层数或神经元个数等。
3.减小正则化系数
正则化是用来防止过拟合的，但当模型出现欠拟合现象时，则需要有针对性地减小正则化系数。
4、正则化
其中：
- λ为正则化系数，调整正则化项与训练误差的比例，λ>0。
- 1≥ρ≥0为比例系数，调整L1正则化与L2正则化的比例。
图上面中的蓝色轮廓线是没有正则化损失函数的等高线，中心的蓝色点为最优解，左图、右图分别为L1、L2正则化给出的限制。
可以看到在正则化的限制之下, L1正则化给出的最优解w*是使解更加靠近原点,也就是说L2正则化能降低参数范数的总和。
L1正则化给出的最优解w*是使解更加靠近某些轴,而其它的轴则为0,所以L1正则化能使得到的参数稀疏化。
四、回归的评价指标
均方误差（Mean Square Error,MSE）
均方根误差 RMSE(Root Mean Square Error,RMSE)
平均绝对误差（Mean Absolute Error,MAE）
R方 [RSquared(r2score)] 
越接近于1,说明模型拟合得越好
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