本人就职于国际知名终端厂商，负责modem芯片研发。
在5G早期负责终端数据业务层、核心网相关的开发工作，目前牵头6G算力网络技术标准研究。

关系数据库

关系代数

• 关系模型与其它模型相比，最有特色的是它的数据库语言
• 这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强
• 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查找、更新和控制一体化的特点，而查询是最主要的部分
• 所以说，关系数据库的核心部分是查询，故又称为查询语言，而查询的条件要使用关系运算表达式来表示
• 因此，关系运算是设计关系数据语言的基础
• 按表达查询的方式不同，关系运算可分为关系代数和关系演算两大类

关系代数的分类及其运算符

• 关系代数式对关系进行集合代数运算，是基于关系代数的操作语言，称为关系代数语言，简称关系代数
  □ 它是由IBM在一个实验性的系统上实现的，称为ISBL（Information System Base Language）语言
  □ ISBL的每个语句都类似于一个关系代数表达式
• 关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系，关系代数用到的运算符主要包括四类：
  • 集合运算符：∪（并），-（差），∩（交），X（广义笛卡尔积）；
  • 专门的关系运算符：σ（选择），∏（投影），∞（连接），*（自然连接），÷（除）；
  • 算术比较运算符：＞（大于），≥（大于等于），＜（小于），≤（小于等于），＝（等于），≠（不等于）；
  • 逻辑运算符：∧（与），∨（或），┒（非）

关系代数的运算按运算符的不同主要分为两类：

• 传统的集合运算：把关系看成元组的集合，以元组作为集合中元素来进行运算，其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的。包括并、差、交和笛卡尔积等运算
• 专门的关系运算：不仅涉及行运算，也涉及列运算。这种运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。包括选择、投影、连接和除法等运算

传统的集合运算

• 传统的集合运算是二目运算，是在两个关系中进行的，但是并不是任意的两个关系都能进行这种集合运算，而是要在两个满足一定条件的关系中进行运算。那么，对关系有什么要求呢？看下面的定义👇
  • 设给定两个关系R、S，若满足：
    （1）具有相同的度n；
    （2）R中第i个属性和S中第i个属性必须来自同一个域
    则说关系R、S是相容的
  • 除笛卡尔积外，要求参加运算的关系必须满足上述的相容性定义

🔶并（Union）

• 关系R和关系S的并，是由属于R或属于S的元组组成，即R和S的所有元组合并，删去重复元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：R∪S={t|t∈R∨t∈S}
• 对于关系数据库，记录的插入和添加可通过并运算实现
• 一个元素在并集中只出现一次
• R和S必须同类型（属性集相同、次序相同，但属性名可以不同）
  

🔶差（Difference）

• 关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成，即R中删去与S中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：R-S={t|t∈R ∧ ┒t∈S}
• 通过差运算，可以实现关系数据库记录的删除
  

🔶交（Intersection）

• 关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成，即R与S中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：R∩S={t|t∈R t∈S}
• 如果两个关系没有相同的元组，那么它们的交为空
• 两个关系的并和差运算为基本运算（即不能用其它运算表达的运算），而交运算为非基本运算，交运算可以用差运算来表示 R∩S=R-(R-S)
  

🔶广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

• 两个分别为n目和m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个 (n+m)列的元组的集合，元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k₁个元组，S有k₂个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k₁*k₂个元组。记作：R×S={t_r⌒t_s| t_r∈R t_s∈S}
• 关系的广义笛卡尔积可用于两关系的连接操作
• 例如，下图关系R(a)和S(b)为相容关系，©为R与S的并，(d)为R与S的交，(e)为R与S的差，(f)为R与S的广义笛卡尔积
  
  

专门的关系运算

• 由于传统的集合运算，只是从行的角度进行，而要灵活地实现关系数据库多样的查询操作，必须引入专门的关系运算

• 为叙述上的方便先引入几个概念
  （1）设关系模式为R(A₁,A₂,…,A_n)，它的一个关系为R，t∈R表示t是R的一个元组，t[A_i]则表示元组t中相应于属性A_i的一个分量👇
  
  （2）若A={A_i1，A_i2，…，A_ik}，其中A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁,A₂,…,A_n中的一部分，则A称为属性列或域列，Ã则表示{A₁,A₂,…,A_n}中去掉{A_i1，A_i2，…，A_ik}后剩余的属性组。t[A]=(t[A_i1],t[A_i2],…,t[A_ik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合👇
  
  （3）元组的连接t_r⌒t_s：R为n目关系，S为m目关系，t_r∈R，t_s∈S，t_r⌒t_s称为元组的连接（concatenation），它是一个n+m列的元组，前n个分量为R的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组
  例如👇
  
  （4）给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组，定义当t[X]=x时，x在R中的象集（Image Set）为Z_x={t[Z] | t∈R,t[X]=x}，它表示R中的属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合👇
  
  

• 选择（Selection）

  • 选择又称限制（Restriction）
  • 选择运算是单目运算，是根据一定的条件在给定的关系R中选取若干个元组，组成一个新关系，记作：σ_F(R )={t|t∈R∧F(t)为真}
    🔹 σ为选取运算符；
    🔹 F表示选取的条件，是一个由运算对象（属性名、常数、简单函数）、算术比较运算符（> ，≥，<，≤，=，≠）和逻辑运算符（∨ ,∧, ┐）连接起来的逻辑表达式，结果为逻辑值“真”或“假”；
  • 选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式为真的元组，是从行的角度进行的运算
    
    
    
    
    以下例题均是以上图👆所示的五个关系为例进行运算
    例. 查询计算机系的全体学生
    👉σDEPT=’计算机’ (S) 或 σ5=’计算机’ (S)（其中5为DEPT的属性序号）
    查询结果如下图👇
    
    例. 查询工资高于1000元的男教师
    👉σ(SAL>1000) ∧(SEX=’男’) (T)
    查询结果如下图👇
    

• 投影（Projection）

  • 投影运算也是单目运算，关系R上的投影是从R中选择出若干属性列，组成新的关系，即对关系在垂直方向进行的运算，从左到右按照指定的若干属性及顺序取出相应列，应删去重复元组。记作：Π_A(R )={t[A] | t∈R}
    🔹 A为R中的属性列，Π为投影运算符
  • 从其定义可看出，投影运算是从列的角度进行的运算，这正是选取运算与投影运算的区别所在。选取运算是从关系的水平方向上进行运算的，而投影运算则是从关系的垂直方向上进行的
  • 投影之后，新关系与原关系可能不相容

  例.查询教师的姓名,教师号及其职称。
  👉Π_{TN，TNO，PROF}(T) 或 Π_2,1,5(T) （其中2,1,5分别为TN、TNO和PROF的属性序号）
  结果如下图👇
  
  结果表明投影运算可以改变关系的属性次序

  例. 查询教师关系中有哪些系
  👉Π_DEPT(T)
  结果如下图👇
  
  由上例可以看出，投影后取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应该取消这些完全相同的行。所以投影之后，不但减少了属性，元组也可能减少，新关系与原关系不相容

  例. 查询讲授C5课程的教师号。
  👉Π_TNO(σ_CNO=’C5’(TC))
  结果如下图👇
  

• 连接（Join）

  • 连接运算是二目运算，是从两个关系的笛卡尔积中选取满足连接条件的元组，组成新的关系

  • 设关系R(A₁，A₂，…，A_n)及S(B₁，B₂，…，B_m)，连接属性集X包含于{A₁，A₂，…，A_n}，及Y包含于{B₁，B₂，…，B_m}，X与Y中属性列数目相同，且相对应属性有共同的域。【若Z={A₁，A₂，…，A_n}/X（/X：去掉X之外的属性）及W={B₁，B₂，…，B_m}/Y，则R及S可表示为R(Z，X)，S(W，Y)】关系R和S在连接属性X和Y上的连接，就是在R×S笛卡尔积中，选取X属性列上的分量与Y属性列上的分量满足给定θ比较条件的那些元组，也就是在R×S上选取在连接属性X,Y上满足θ条件的子集，组成新的关系，新关系的度为n+m。记作：(R∞S)_XθY={t_r⌒t_s |t_r∈R∧t_s∈S∧t_r[X] θ t_s[Y]为真}
    🔹 ∞是连接运算符
    🔹 θ为算术比较运算符，也称θ连接
    🔹 XθY为连接条件
         θ为“=”时，称为等值连接；
         θ为“<”时，称为小于连接；
         θ为“>”时，称为大于连接

  • 连接运算为非基本运算，可以用选取运算和广义笛卡尔积运算来表示：R∞S=σ_xθy(R×S)

  • 在连接运算中，一种最常用的连接是自然连接，所谓自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在连接结果中把重复的属性列去掉。即如果R与S具有相同的属性组Y，则自然连接可记作：R∞S={t_r⌒t_s |t_r∈R∧t_s∈S∧t_r[Y]=t_s[Y]}

  • 自然连接是在广义笛卡尔积R×S中选出同名属性上符合相等条件的元组，再进行投影，去掉重复的同名属性，组成新的关系

  例. 如图 (a)、(b)所示的两个关系R与S，©为R和S的大于连接（C>D），(d)为R和S的等值连接（C=D），(e)为R和S的等值连接（R.B=S.B），(f)为R和S的自然连接👇
  
  结果如下图👇
  
  

  • 通过上面👆的例题，我们可以看出等值连接与自然连接的区别：
    （1）等值连接中不要求连接属性的属性名相同，而自然连接要求连接属性的属性名必须相同，即两关系只有在同名属性才能进行自然连接【如上例R中的C列和S中的D列可进行等值连接，但因为属性名不同，不能进行自然连接】
    （2）等值连接不将重复属性去掉，而自然连接去掉重复属性，也可以说，自然连接是去掉重复列的等值连接【如上例R中的B列和S中的B列进行等值连接时，结果有两个重复的属性列B,而进行自然连接时，结果只有一个属性列B】
    
    

  例. 查询讲授数据库课程的教师姓名
  👉Π_TN(σ_{CN=’数据库’}(C ) ∞ Π_TNO,CNO(TC) ∞Π_TNO,TN(T)) 或 Π_TN(Π_TNO(σ_{CN=’数据库’}(C ) ∞TC) ∞ Π_TNO,TN(T))
  结果如下图👇
  

• 除法（Division）

  • 除法运算是二目运算
  • 前提：设有关系R(X，Y)与关系S(Y，Z)，其中X，Y，Z为属性集合，R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但对应属性必须出自相同的域
  • 关系R除以关系S所得的商是一个新关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X上的投影：元组在X上分量值x的象级Y_x包含S在Y上投影的集合。记作：R÷S={t_r[X]|t_r∈R∧Π_y(S)⊆Y_x}
    🔹 Y_x为x在R中的象集，x= t_r[X]
  • 除法是既从列的角度又从行的角度对关系R进行运算。首先，新关系P中只保留属性列X；其次，新关系P中只保留这样的X值x：S在Y上投影的集合是x的象集Y_x的子集
  • 除法运算为非基本运算，可以表示为：R÷S=Π_x(R )－Π_x(Π_x(R )× Π_Y(S)－R)
    
    

  例. 已知关系R和S，如下图(a)，(b)所示，则R÷S如图©所示👇
  
  与除法的定义相对应，本题中X={A，B，E}，Y={C，D}，Z={F}。其中，在关系R中，X可以取三个值{(a1,b2,e1),(a2,b4,e3),(a3,b5,e4)}，它们的象集分别为：
       ①(a1,b2,e1)的象集为{(c3,d5),(c4,d6)}
       ②(a2,b4,e3)的象集为{(c1,d3)}
       ③(a3,b5,e4)的象集为{(c2,d8)}
  S在Y上的投影为{(c3,d5),(c4,d6)}
  显然只有(a1，b2，e1)的象集包含S在Y上的投影，所以R÷S={(a1，b2，e1)}

  • 除法运算同时从行和列的角度进行运算，适合于包含“全部”之类的短语的查询

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关系数据库——关系数据结构及形式化定义
关系数据库——关系操作&&关系模型的完整性

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