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一、正态分布
标准正态分布
标准正态分布就是均值为0，标准差为1的分布，如下图

一般正态分布
一般正态分布n，假设其均值是 μ，标准差为σ ，即服从 n~N(μ,σ)
经过变换可以转换成标准正态分布：另X = (N - μ)/ σ，则X就是服从标准的正态分布了X~N(0,1)
 

二、置信区间
上图中的面积就是标准正态分布的概率，而置信区间就是变量的区间估计，例如图中的-1到1就是一个置信区间：标准正态分布的变量X ，有68.27%的概率 X属于[-1,1]这个区间。
最常用的是95%的分布区间，就是[-1.96,1.96]这个区间。方便公式化，我们另区间为[-z,z]，那么 -z<=X<=z。
进而可以推导一般正态分布的置信区间:

3 置信区间

用户投票问题

假设知乎里的两条回答，分别有3个赞成1个反对、30个赞成10个反对，两条回答的赞成率都是75%，哪个答案应该排在前面？

虽然赞成率都一样，但直觉告诉我们，30个赞的那条回答会更可信，毕竟样本更多会更有统计意义。

实际上这类小样本问题非常常见，例如电商搜索业务中，排名靠后的商品的点击率、转化率、作弊率等比率型指标，分子分母都很小时，得到的数据是不可信的。

以下中间章节需要一点统计学的知识，懒得看可直接跳到最后一节看结论。

置信区间

统计学中有个“置信区间”的概念，很多人对它有种似曾相识的感觉，但又说不上来它到底是个什么。首先它也是个随机变量，给定一组样本，它的置信区间是个固定值。设总体随机变量（区别于样本）的一个参数为Θ（例如均值、方差），我们根据给定样本估计出了一个参数Θ’，那么它的95%置信区间表示真实的Θ在这个区间的概率为95%。

The confidence level is the frequency (i.e., the proportion) of possible confidence intervals that contain the true value of their corresponding parameter.

——Wikipedia

直观来讲，同分布的两组样本，根据数量多的样本得到的95%置信区间要比样本数量小的窄一些。这表明样本越大，对于我们估计出来的参数值越自信。

定义：设 θ 是总体的一个未知参数，若存在随机区间[θ1,θ2]，对于给定的0<α<1，若满足p{θ1≤θ≤θ2}=1−α，则称区间[θ1,θ2]是θ的置信水平（置信度）为1−α的置信区间。θ1和θ2分别称为置信下限和置信上限。其中1−α为置信度，α为显著水平。

中心极限定理告诉我们，当样本足够大时，任何分布都渐近于正态分布。因此我们一般都讲正态近似置信区间（Normal Approximation Interval）。其中的α意义如下图所示，是指标准正态分布密度曲线两侧阴影部分面积之和，置信度等于非阴影部分的面积。

然鹅，使用正态区间近似毕竟依赖于中心极限定理，只适用于样本较多的情况，对于小样本而言，它的误差比较大。

威尔逊置信区间

由于正态区间对于小样本并不可靠，因而，1927年，美国数学家 Edwin Bidwell Wilson提出了一个修正公式，被称为“威尔逊区间”，很好地解决了小样本的准确性问题。

在上面的公式中，^p表示样本的”赞成票比例”，n表示样本的大小，z表示对应某个置信水平的z统计量，这是一个常数，可以通过查前文表得到。一般情况下，在95%的置信水平下，z统计量的值为1.96。
威尔逊置信区间的均值为

下限为：

可以看到：当n的值足够大时，这个下限值会趋向^p。如果n非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于p，实际上，起到了降低”赞成票比例”的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。
根据离散型随机变量的均值和方差定义：
μ=E(X)=0*(1-p)+1*p=p
σ=D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)
因此上面的威尔逊区间公式可以写成：

就是对正态区间的均值和标准差进行了修正。
相关问题的思考：

1.这个修正公式是仅仅适用于伯努利分布（好差评），还是也适用于其他分布（如5星评价）？这个问题本人也没搞清，望高人指点。

2.商品点击率中，是否可以采用威尔逊进行修正？
 

其中p是伯努利实验的成功率，n是样本数量或实验次数，z就是“z分数”或“标准分数”，是和指定的置信度相关的一个常数。

置信度	z分数
99%	2.576
98%	2.326
95%	1.96
90%	1.645

这里是指标准正态分布的满足置信度的区间端点值。

取置信度95%，对应的z为1.96。p值从0到1，n值从0到100。可见，当n较小时，会对最终的值做一个修正，在n较大时，函数值接近于p值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
p=np.arange(0,1,0.01)
n=np.arange(1, 100, 1)
z=1.96
n,p=np.meshgrid(n,p)
y=(p+z**2/(2*n)-z*np.sqrt(p*(1-p)/n + z**2/(4*n**2)))/(1+z/n)
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(n,p,y,cmap='rainbow')
plt.show()

def wilson_score(pos, total, p_z=2.):
    """
    威尔逊得分计算函数
    参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval
    :param pos: 正例数
    :param total: 总数
    :param p_z: 正太分布的分位数
    :return: 威尔逊得分
    """
    pos_rat = pos * 1. / total * 1.  # 正例比率
    score = (pos_rat + (np.square(p_z) / (2. * total))
             - ((p_z / (2. * total)) * np.sqrt(4. * total * (1. - pos_rat) * pos_rat + np.square(p_z)))) / \
            (1. + np.square(p_z) / total)
    return score

相关参考：

http://typename.net/statistics/wilson-confidence-interval/

正态分布 置信区间 威尔逊置信区间(Wilson score interval)_我叫龙翔天翼的博客-CSDN博客_正态分布置信区间

tips：对于5星评价问题，可以参考 Ranking Items With Star Ratings: An Approximate Bayesian Approach – Evan Miller