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前言

博主在这几天刷算法的时候，被一些二分答案的题目几尽折磨，在苦苦刷题的时候从yxc大佬那里学到了新的二分模板，在对这个模板深入实践后，愈发感觉这个模板运用好几乎万能，所以在此时记录下我的一些新的理解，并对之前的博客相互印证。（二分查找细节讲解~~~~阅读量好少支持一下吧 没看过的可以看下，相信对你有帮助）

一、什么是二分答案

比如说你要从一本英汉词典上查一个单词，你从头到尾一页一页的翻着找，这样找可以保证一定能找到，但是最坏情况你要把整本词典都翻一遍，那就麻烦了。

那有什么改进的方法吗？当然有。

考虑把这个词典从中间分开，看一下中间那一页的主要单词都是啥，然后去判断我要找的单词应该在左半部分还是右半部分，再去那一部分考虑怎么找就好了。同样的，在另一部分也是要进行划分并且判断的操作。这样一直进行下去，便能很快的找到答案，而且根本不需要翻过整个词典来。

我们把这个方法叫做“二分答案”。顾名思义，它用二分的方法枚举答案，并且枚举时判断这个答案是否可行。

二、算法介绍

1.使用条件和适用情况

二分并不是在所有情况下都是可用的，使用二分需要满足两个条件。一个是有界，一个是单调。

1.二分一般用来解决最优解问题
二分答案应该是在一个单调闭区间上进行的。也就是说，二分答案最后得到的答案应该是一个确定值，而不是像搜索那样会出现多解。所以我们二分的结果必定是一个最优解。

2.请大家务必弄清可行解和最优解的概念，这是我们掌握二分的关键
可以这样想，在一个区间上，有很多数，这些数可能是我们这些问题的解，换句话说，这里有很多不合法的解，也有很多合法的解。我们只考虑合法解，并称之为可行解。考虑所有可行解，我们肯定是要从这些可行解中找到一个最好的作为我们的答案， 这个答案我们称之为最优解。最优解一定可行，但可行解不一定最优。

3.需要满足单调性的要求
我们假设整个序列具有单调性，且一个数x为可行解，那么一般的，所有的x’(x’<x)都是可行解。并且，如果有一个数y是非法解，那么一般的，所有的y’(y’>y)都是非法解。这也是决定了我们二分的时候，答案应该往左查找还是往右查找。

2.代码模板

我们的模板只有两个，我们只需要运用好这两个模板，可以解决掉几乎所有的二分。在此我们先介绍模板和怎么去运用，在最后我们在说明一下这份模板的一些细枝末节。

第一个模板是往左边查找，也就是答案包括在左边的情况

	while(l < r){
            int mid = (l + r) / 2;
            if(check(mid))
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }

那很明显，这个就是往右边查找，也就是答案包括在右边的情况

	while(l < r){
           	int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(chech(mid))
               	 l = mid;
             else
                 r = mid - 1;
         }

3.例题解析

好了上面说了那么多废话，大家估计可能也听得云里雾里的，现在我们直接运用在实战里，给大伙看个明白。

#P2440 木材加工
这一题是很经典的一道二分答案的题目，也可以说是很多二分的母题了。
数据范围是10^5，也就是十万的范围，在c/c++里面评测机一秒数据大概是能处理10e8的数据，也就是说本题直接暴力O(n2) 的算法肯定会超时的，所以我们用二分来解决这个题目。

解题思路： 看完题意，可能很多同学都是啊？这怎么二分啊。我们没有目标值要查找啊。别担心，刚接触二分答案没有思路是很正常的，和二分查找不一样，二分答案是一种思想，只要我们的答案满足在目标范围内单调，而且范围有界，我们就可以用二分思想。

在这个题目里边，我们的目标值就是l，即每段小木头的最大长度，而它的范围，就是[0,max(L[i])] 。一段都没法切，那不就是0吗？能切的最大长度，那不就是那根最长的吗，max(L[i])。那我们二分模板中的l = 0，r = max(L[i])。那我们每次二分，只要判断这个长度能不能满足切出k段相同的木头，不就可以了吗？思路理顺后，我们来看看模板应该用哪个？也就是当我们找到一个可行解的时候，是应该往左呢，还是应该往右呢。根据题意很明显我们应该往右对不对？因为整个范围满足单调递增，而我们查找到一个可行解时，那么它不一定是最优解，我们要求的更大的最优解，那就应该往右查找。
所以选用往右边查找，当check为真时，往右查找。

	while(l < r){
           	int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(chech(mid))
               	 l = mid;
             else
                 r = mid - 1;
         }

最后附上题解，数据有点大，所以要记得使用longlong

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long ll;
ll a[N];
ll n,m;
bool check(ll h)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0 ; i < n ; i++ )
        res += (a[i] / h);      //看看每一段木头能切成几段 h 长的木段
    if(res >= m) return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
   cin >> n >> m;
   ll l = 0, r = 0;
   for (int i = 0 ; i < n ; i++ ){
        cin >> a[i];
        r = max(a[i],r);
   }
   while(l < r)
   {
       ll mid = (l + r + 1) / 2;
        if(check(mid))
            l = mid;
        else 
            r = mid - 1;
   }
   cout<<l<<endl;
   return 0;
}

例题2.
机器人跳跃问题(来源：今日头条笔试题）

解题思路： 本题也是一个二分的问题，由题意很容易看出，我们要的目标值就是初始能量e，范围就是[0，1e5]，所以我们只要二分这个范围，然后每次判断一下，查找到的解满不满足可行解，如果是可行解，那么就往左边查找最优解。所以我们选用的模板是第一个模板

	while(l < r){
            int mid = (l + r) / 2;
            if(check(mid))
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }

check函数的判断就很简单了，但是有个细节就是，根据题目给的公式，推出无论是升高还是降低都是e = 2 * e - a[i];且记得如果每次e都会乘以2，所以记得满足情况后就及时退出，否则longlong也会爆数据。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100000;
int a[N + 5];
int n;
bool check(int e)
{
    for(int i = 0;i < n;i++ ){
        e = 2 * e - a[i];
        if(e<0) return false;
       	if(e > 1e5) return true; // 超过最大值就返回真，如果不设置的话，很容易爆int和long long
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin >> n; 
    for(int i = 0;i < n;i++ ) cin >> a[i];
    int l = 0,r = 1e5;
    while(l < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid))
            r = mid; 
        else
            l = mid + 1;
    }
    cout<<l<<endl;
    return 0;
}

看完上面两个例题，相信大家应该能有所理解了，在最后我们解释一下模板里的代码细节。

为什么这两个模板能解决全部的二分呢？
答案是因为这两个模板的搜索范围，刚刚好可以覆盖了全部的二分情况，在之前我们讲过了二分的边界细节（不知道的可以去看下），这两个都是把查找目标的情况也糅合了进来。

为什么第二个模板需要mid = (l + r + 1) / 2?
这个相信大家都有疑问吧，大家可以试下如果你不+1的话，二分就会陷入死循环。因为这个二分范围是[l,r),r目标值没有包括进来，在向右二分时，无论如何循环没办法取到最右值，所以需要查找时+1。

总结

最后我们总结一下，二分答案我们只需要找准目标值和目标边界，在根据题目要求选定模板，就能解决问题了。不过文章内容说的都是查找要求目标值的情况的，还有一些二分题目是不包括目标值的，比如蓝桥杯的递增三元组，但这类题目很少，只要把这两个模板掌握好，同样能处理好别的情况。

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