CSP-J（普及组）2021年T2 插入排序（sort）

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

长春高老师编程

1241人浏览 · 2023-06-14 16:57:57

长春高老师编程 · 2023-06-14 16:57:57 发布

【题目描述】

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 O(1)，则插入排序可以以 O(n^2) 的时间复杂度完成长度为 n 的数组的排序。不妨假设这 n 个数字分别存储在 a1, a2, · · · , an 之中，则如下伪

代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = i; j>=2; j‐‐)
           if ( a[j] < a[j‐1] ){
                 int t = a[j‐1];
                 a[j‐1] = a[j];
                 a[j] = t;
          }

这下面是 Pascal 的示范代码

for i:=1 to n do
          for j:=i downto 2 do
               if a[j]<a[j‐1] then
                    begin
                           t:=a[i];
                           a[i]:=a[j];
                           a[j]:=t;
                   end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 n 的数组 a，数组下标从 11 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 a 上的 Q 次操作，操作共两种，参数分别如下：

1 x v: 这是第一种操作，会将 a 的第 x个元素，也就是 ax 的值，修改为 v。保证1≤x≤n, 1≤v≤10^9。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

2 x: 这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 a 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 a 的第 x 个元素，也就是 ax，在排序后的新数组所处的位置。保证1≤x≤n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 1 的操作次数不超过 5000。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

【输入】

输入的第一行包含两个正整数 n, Q，表示数组长度和操作次数。保证 1≤n≤8,000,1≤Q≤2×10^5。

输入的第二行包含 n 个空格分隔的非负整数，其中第 i 个非负整数表示 ai。保证1≤ai≤10^9。

接下来 Q 行，每行 2 ∼ 3 个正整数，表示一次操作，操作格式见题目描述。

【输出】

对于每一次类型为 2 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

【输入样例】

【输出样例】

1
1
2

【提示】

【样例 1 解释】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 2, 1。

注意虽然此时 a2=a3，但是我们不能将其视为相同的元素。

【样例 2】

见选手目录下的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 1 ∼ 2。

【样例 3】

见选手目录下的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 3 ∼ 7。

【样例 4】

见选手目录下的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 12 ∼ 14。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 1≤n≤8,000, 1≤Q≤2×10^5, 1≤x≤n, 1≤v, ai≤10^9。

对于所有测试数据，保证在所有 Q 次操作中，至多有 5000 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

测试点	n	Q	特殊性质
1,2,3,4	≤ 10	≤ 10	无
5,6,7,8,9	≤ 300	≤ 300
10,11,12,13	≤ 1, 500	≤ 1, 500
14,15,16	≤ 8, 000	≤ 8, 000	保证所有输入的 ai, v 互不相同
17,18,19		≤ 8, 000	无
20,21,22		≤ 2 × 10^5	保证所有输入的 ai, v 互不相同
23,24,25		≤ 2 × 10^5	无

本题目评测默认开启-O2。

【解析】

完全模拟：完全模拟题意，每次问询之前做一次插入排序，竟然全过了（哈哈，没想到吧）。

仔细想想，应该归功于那个break；对于有序数组（部分有序），这里因为只改变了一个元素，所以再次插入排序的时候只有O（N）的时间复杂度了。

不加break，理论上只能过9个点（36分）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[8005];//保存排序后的位置
struct node {
    int a;//数值
    int w;//原来的位置
}a[8005];
 
int main() {
    int n,q;
    scanf("%d %d",&n,&q);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i].a);
        a[i].w=i;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){//做一次插入排序
        for (int j=i;j>=2;j--){
            if (a[j].a<a[j-1].a){
                swap(a[j],a[j-1]);
            }else{//加入break可以节省时间
                break;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){//把排序后的位置存到b数组里
        b[a[i].w]=i;
    }
    for (int i=1;i<=q;i++){
        int t;
        scanf("%d",&t);
        if (t==1){//操作1
            int x, v;
            scanf("%d %d", &x, &v);
            a[b[x]].a = v;//更新a数组的值
            for (int k = 2; k <= n; k++) {//做逆插入排序
                for (int j = k; j >= 2; j--) {
                    //按值的大小排序，值相同的按原来的位置排序
                    if (a[j].a < a[j - 1].a || a[j].a == a[j - 1].a && a[j].w < a[j - 1].w) {
                        swap(a[j],a[j-1]);//交换
                        swap(b[a[j].w],b[a[j-1].w]);//将b数组中的位置也做下交换
                    } else {
                        break;//break可以节省时间
                    }
                }
            }
        } else {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            printf("%d\n", b[x]);
        }
    }
    return 0;
}

这里用快排代替插入排序，感觉会快一点，理论上能得48分。还不如前边的插入排序得分多（o(╥﹏╥)o）。

详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[8005];//保存排序后的位置
struct node {
    int a;//数值
    int w;//原来的位置
} a[8005];

bool cmp(node x, node y) {
    if (x.a == y.a) return x.w < y.w;
    return x.a < y.a;
}

int main() {
    int n, q;
    scanf("%d %d", &n, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i].a);
        a[i].w = i;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);//按数值大小排序，数值相同的序号小的靠前
    for (int i = 1; i <= n; i++) { //把排序后的位置存到b数组里
        b[a[i].w] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
        int t;
        scanf("%d", &t);
        if (t == 1) { //操作1
            int x, v;
            scanf("%d %d", &x, &v);
            a[b[x]].a = v; //更新a数组的值
            sort(a + 1, a + n + 1, cmp);//按数值大小排序，数值相同的序号小的靠前
            for (int j = 1; j <= n; j++) { //把排序后的位置存到b数组里
                b[a[j].w] = j;
            }
        } else { //操作2
            int x;
            scanf("%d", &x);
            printf("%d\n", b[x]);
        }
    }
    return 0;
}

经过分析，每次改变一个数字，也就是说，我只要把这个数字的位置摆正就可以了，所以我向前做一次插入排序（注意如果相同的话，原来位置靠前的要在前边），然后再向后做一次逆插入排序。

详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[8005];//保存排序后的位置
struct node {
    int a;//数值
    int w;//原来的位置
}a[8005];

int main() {
    int n,q;
    scanf("%d %d",&n,&q);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i].a);
        a[i].w=i;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){//做一次插入排序
        for (int j=i;j>=2;j--){
            if (a[j].a<a[j-1].a){
                swap(a[j],a[j-1]);
            }else{//加入break可以节省时间
                break;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){//把排序后的位置存到b数组里
        b[a[i].w]=i;
    }
    for (int i=1;i<=q;i++){
        int t;
        scanf("%d",&t);
        if (t==1){//操作1
            int x,v;
            scanf("%d %d",&x,&v);
            int k=b[x];//k为修改的数在排序后的数组的位置
            a[b[x]].a=v;//更新a数组的值
            for (int j=k;j<n;j++){//向后做逆插入排序
                //按值的大小排序，值相同的按原来的位置排序
                if (a[j].a>a[j+1].a||a[j].a==a[j+1].a&&a[j].w>a[j+1].w){
                    swap(a[j],a[j+1]);//交换
                    swap(b[a[j].w],b[a[j+1].w]);//将b数组中的位置也做下交换
                }else{
                    break;//break可以节省时间
                }
            }
            for (int j=k;j>=2;j--){//向前做插入排序
                //按值的大小排序，值相同的按原来的位置排序
                if (a[j].a<a[j-1].a||a[j].a==a[j-1].a&&a[j].w<a[j-1].w){
                    swap(a[j],a[j-1]);//交换
                    swap(b[a[j].w],b[a[j-1].w]);//将b数组中的位置也做下交换
                }else{
                    break;//break可以节省时间
                }
            }
        }else{//操作2
            int x;
            scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",b[x]);
        }
    }
    return 0;
}