等效旋转矢量

转动的不可交换性

力学中刚体的有限次转动是不可交换的。转动的不可交换性
决定了转动不是矢量，即两次以上的不同轴转动不能相加。
对一个空间方向随时间变化的角速度矢量进行积分是没有物
理意义的

上图两个极端的例子说明，不能根据陀螺输出的角增量来判断实际的姿态变化，因为姿态变化具有不可交换性，不但要知道角增量，还要知道旋转过程是怎样的，才能确定姿态变化；也就是说角度增量不靠谱(Case1和Case2最终姿态不同，但是角增量却相等)，因此就要引入等效旋转矢量，他是一个定轴旋转，Case1和Case2对应的等效旋转矢量就肯定是不同的了，也就是确定性的量

转动的不可交换性与惯性导航有何关系？

陀螺在输出角增量时只对各轴的角度变化量做了数值累加，
并未考虑角速度Wib向量在采样间隔内的方向变化，因此陀
螺角增量输出没有明确的物理含义。

等效旋转矢量

1.理论基础：一个坐标系到另一个坐标系的变换可以通过多次
转动来完成，也可以通过绕一个定义在参考坐标系中的矢量
的单次转动来实现。
2.该矢量称作等效旋转矢量（rotation vector）是一个三元素的
向量，旋转矢量的方向给出了转动轴的方向，它的模长为转
动角度的大小。又称为轴角（axis-angle）

等效旋转矢量表示两个坐标系间的转动关系，可转换为对应的方向余弦矩阵和姿态四元数，完成姿态更新
1.Rodrigues 旋转公式

2.姿态四元数的三角函数式

3.满足DCM(方向余弦矩阵)和四元数微分方程求解所要求的“定轴旋转”条件，理论上可完美补偿不可交换性误差。
注：问题的关键在于如何利用陀螺输出构造等效旋转矢量。

等效旋转矢量多子样算法的理论基础

1969年，John E. Bortz在其博士论文中详细推导了等效旋转矢量微分方程（Bortz方程），该方程是利用陀螺输出求解等效旋转矢量的基本公式，奠定了等效旋转矢量多子样算法的理论基础。

等效旋转矢量微分方程

可用几何的方法或根据四元数的微分方程来推导等效旋
转矢量的微分方程式，即Bortz 方程

1.等效旋转矢量常用于表示姿态的变化量。
2.Bortz方程等式右边两项补偿了角速度向量的方向变化

3.如果真的旋转过程是定轴旋转的话，那么角速度与旋转的角度变化肯定平行，那么叉乘为0，后两项都为0，这样Bortz方程就退化成了我们之前直观以为的，角度变化的微分就等于角速度

等效旋转矢量微分方程的工程近似

注：这里是做了—个近似，将等效旋转矢量替换为角度增量，因为等效旋转矢量是小量，它和角度增量又是—个微小的差异，因此这个差异就是二阶小量，可以忽略

等效旋转矢量的双子样算法

因为姿态更新用到了两个历元的角增量，因此叫双子样算法

由上图可得角速度表达式(我们假设角速度变化是线性的(原来我们认为角速度方向不变)，而不再是之前定轴假设的不变量)，角增量表达式可由下图推导出：


由上图可知，我们之前的定轴假设实际上就是把二阶圆锥误差补偿项给漏掉了；之所以叫二阶圆锥误差补偿，是因为当载体做圆锥运动的时候，这一项显得格外突出，因此而命名