Instant-NGP的出现，无疑给神经表达领域带来了新的生命力。可认为是NeRF诞生以来的关键里程碑了。首次让我们看到了秒级的重建、毫秒级的渲染的NeRF工作。

作为如此顶到爆的工作，Instant-NGP毫无疑问斩获SIGGRAPH 2022的最佳论文。虽然只是五篇最佳论文之一，但就目前的引用量看来，飙升到1000+引用量的Instant-NGP更像是the best of the best。夸归夸，我们研究一下Instant-NGP为何能让包括NeRF在内的四个神经表示任务都达到SOTA呢？

关键在于：多分辨率哈希编码。哈希编码是一种位置编码，在神经隐式表达任务中，由于神经网络天然对尾数不敏感，会导致表达结果的高频信息丢失，引发“过平滑”的问题。于是位置编码显得尤为重要，在NeRF中，采用频率位置编码。但频率位置编码的大问题就是不够紧凑。空间坐标本来是紧凑表示，但频率编码以后，会变得疏散。这种疏散的位置表示有两个问题：1，需要更大的神经网络去拟合；2，需要训练更多的轮数才能收敛。这两者都直接导致了NeRF训练和推理都很慢。于是，一种紧凑、通用的编码方式开始被研究者们寻找，包括参数编码和稀疏参数编码系列的编码方式，但要么就是通用性不够好，要么就是并行度不够高，总达不到理想的编码效果。而多分辨率哈希编码的诞生，解决了以上的问题。

先理解这个公式：假如我输入的坐标是$\mathbf{x}=(8,6,7)$，有一组包含1的质数集$\pi =(1,2654435761,805459861)$，质数集的维度与坐标维度一致即可。这里圆圈中间有个加号的符号就是“异或”计算，这是一种位运算：相同为0，不同为1。$mod$表示模除，即取余数。T表示哈希表的容量，典型值为$2^{19}$。

这个公式的输出结果依然是一个整数，表达为一个索引值（即哈希值）。这个索引值可以直接在具体的哈希表上查找内容。将一个坐标化成一个索引值，相邻的坐标的哈希值会有明显的差异。

我们先看看哈希编码是怎么一回事儿：

import torch


def hash_computing(coords, log2_hashmap_size=19):
    '''
    coords: this function can process upto 7 dim coordinates
    log2T:  logarithm of T w.r.t 2
    '''
    primes = [1, 2654435761, 805459861, 3674653429, 2097192037, 1434869437, 2165219737]

    xor_result = torch.zeros_like(coords)[..., 0]
    for i in range(coords.shape[-1]): # 3
        xor_result ^= coords[..., i] * primes[i]

    return torch.tensor((1 << log2_hashmap_size) - 1).to(xor_result.device) & xor_result

if __name__ == "__main__":
    x = torch.Tensor([[8, 3, 3], [8, 3, 4]]).int()
    y = hash_computing(x)
    print(y)

我们输入了两个相邻坐标(8,3,3)和(8,3,4)，得到的哈希值分别为93092和471887。

我们看看哈希的定义：哈希算法是一种将任意长度的数据转换为固定长度值的算法。哈希算法天然就是一种紧凑表示。

未完待写…