条件概率

条件概率是指在某些前提条件B下，发生事件A的概率。

定义：A与B是两个事件，且P(B)>0。
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

满足条件：
1、对任意A，有$P(A|B)\ge 0$
2、$P(S|B)=1$
3、$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i|B)={\bigcup }_{i=1}^{n}P(A_i|B)，当A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j时$
4、对任意A、C有，$P(A\cup C|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(A\cap C|B)$

在条件概率$P(A|B)$中，研究的是在B已经发生的情况下的概率

也就是说当B为必然事件时，A发生的概率。事实上也就是先将B拿出来作为一个新集合$S_b$研究，此时对于这个新集合$S_b$，会有$P(S_b)=1$，但如果是相对于原集合的描述，则为：$P(B|B)=1$。
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

乘法公式

$P(AB)=P(A|B)P(B)$
\qquad
$=P(B|A)P(A)$

全概率公式

设全集 S = { B 1 ∪ B 2 ∪ . . . B n } S=\{B_1\cup B_2\cup...B_n\} S={B1​∪B2​∪...Bn​}，且$B_i\cup B_j=\varnothing ,i\ne j$。
称$B_i$为$S$的一个划分

则$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$
\qquad

贝叶斯公式

设全集 S = { B 1 ∪ B 2 ∪ . . . B n } S=\{B_1\cup B_2\cup...B_n\} S={B1​∪B2​∪...Bn​}，且$B_i\cup B_j=\varnothing ,i\ne j$。
称$B_i$为$S$的一个划分
则：
$P(B_i|A)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

事件独立性

在放回抽样中，第一次抽到A和第二次抽到B两个事件是独立的。

1、设A，B是两个随机事件,如果$P(AB)=P(A)P(B)$，则称A与B是相互独立事件。

2、对于$A_1、A_2、...A_n，n\ge 2$事件独立，其中任意$k\ge 2$个事件$A_1、A_2、...A_k$,则有:
$P(A_1{A}_2...A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

性质

1、当$P(A)>0$时（即$A\ne \varnothing$），有：
\qquad
\qquad \qquad $P(B|A)=P(A)P(B)\iff$ A与B是相互独立事件
\qquad
2、必然事件$S$与任意事件独立，不可能事件$\varnothing$也与任意事件独立：
$P(SA)=P(S)P(A=1\ast P(A)$
$P(\varnothing A)=P(\varnothing )P(A)=0\ast P(A)$
\qquad
3、若$A$与$B$独立，则$A$与$\bar{B}$、$\bar{A}$与$\bar{B}$、$\bar{A}$与$B$也独立。

扩充

当A已经发生时，且B与A独立：
$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$
\qquad
当A、C已经发生时，且B与A独立，C与A也独立，则有：
$P(B|(C\cap A))=\frac{P(B\cap C\cap A))}{P(C\cap A)}=\frac{P(B\cap C)P(A)}{P(C)P(A)}$
\qquad
$=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=P(B|C)$

注意事件独立性和互斥是不同的

互斥事件是不可能同时发生的事件，即交集为空，但可能会产生相互影响。比如A与B互斥，那么A发生了，B肯定不发生。

\qquad
独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。比如A与B独立，A发生了，B可能发生也可能不发生。

三个事件的独立性