非退化是什么意思？
非退化是什么意思？什么是非退化矩阵？即行列式不为零，即矩阵可逆什么是非退化线性替换？对于一个线性变换{x1=c11y1+c12y2+⋯+c1nynx2=c21y1+c22y2+⋯+c2nyn⋮xn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn⇔X=CY\left\{\begin{array}{lr}x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n \\x_2=c_{21}
非退化是什么意思？
首先且最重要的，非退化在不同的语境下有不同的含义，可以“非退化的矩阵”，“非退化线性变换”，“非退化的双线性函数”等等等等，但是！他们的本质是相同的——都是对“线性无关”的刻画。
下面给出在一些情况下的定义
什么是非退化矩阵？
即行列式不为零，即矩阵可逆
什么是非退化线性替换？
对于一个线性变换
{ x 1 = c 11 y 1 + c 12 y 2 + ⋯ + c 1 n y n x 2 = c 21 y 1 + c 22 y 2 + ⋯ + c 2 n y n ⋮ x n = c n 1 y 1 + c n 2 y 2 + ⋯ + c n n y n ⇔ X = C Y \left\{\begin{array}{lr} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n \\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n \\ \vdots \\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \\ \end{array}\right.\Leftrightarrow X=CY ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=c11y1+c12y2+⋯+c1nynx2=c21y1+c22y2+⋯+c2nyn⋮xn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn⇔X=CY
该线性变换非退化，即系数矩阵C非退化
非退化线性替换有什么性质？
保持二次型的形式，比如 f ( x 1 , . . . , x n ) = X ′ A X = ∑ i , j a i j x i x j f(x_1,...,x_n)=X'AX=\sum\limits_{i,j}a_{ij}x_ix_j f(x1,...,xn)=X′AX=i,j∑aijxixj为二次型，使用 X = C Y X=CY X=CY，得
X ′ A X = ( C Y ) ′ A ( C Y ) = Y ′ ( C ′ A C ) Y = Y ′ B Y ， 其 中 X'AX=(CY)'A(CY)=Y'(C'AC)Y=Y'BY，其中 X′AX=(CY)′A(CY)=Y′(C′AC)Y=Y′BY，其中 B ′ = ( C ′ A C ) ′ = C ′ A ′ C = C ′ A C = B B'=(C'AC)'=C'A'C=C'AC=B B′=(C′AC)′=C′A′C=C′AC=B，即B对称
即 Y ′ B Y Y'BY Y′BY这个用y所表示的“算式？”也是一个二次型。
什么是非退化的双线性函数？
即其度量矩阵是非退化的
非退化双线性函数有什么性质？
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若 f f f为非退化双线性函数，且 f ( α , β ) = 0 f(\alpha,\beta)=0 f(α,β)=0对任意的 β ∈ V \beta\in V β∈V均成立，则 α = 0 \alpha=0 α=0。能否简述原因？
取V的基 β 1 , ⋯ , β n \beta_1,\cdots,\beta_n β1,⋯,βn，考虑 f ( α , β i ) = X ′ A Y i = 0 f(\alpha,\beta_i)=X'AY_i=0 f(α,βi)=X′AYi=0。
把这些 Y i Y_i Yi并在一起，与A相乘仍然为可逆阵。
等式两边同时乘上他们的逆，就ok啦~
注：这条也是另一种定义“非退化双线性函数”的方式
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