1 树的基本性质

性质 1 ：树中的节点数等于所有节点度数加 1

每个节点的度数分别对应节点的子节点，设所有节点的度数为 d，总结点数为n，则 n = d + 根节点，即 n = d + 1。
设总结点数为n，树中除根节点外，每个节点都对应一个分支，因此 树中总分支数为 n - 1。

性质 2 ：度为 m 的树中第 i 层至多有 $m^{i-1}$个节点（$i\ge 1$)

使用归纳法证明：

1. 第一层，即 i = 1。至多有 $m^0=1$ 个节点
2. 设第 i - 1层至多有 $m^{i-2}$ 个节点
3. 则第 i 层，由于节点的度为 m ，则节点数为$m^{i-2}\ast m=m^{i-1}$

性质 3： 高度为 h 的 m 叉树至多有 $\frac{m^h-1}{m-1}$个节点

节点数最多，则每层都有$m^{i-1}$个节点（$i\ge 1$)。则总结点数 $n=m^0+m^1+m^2+\cdots +m^{h-1}$，用等比数列求和公式可得 $n=\frac{m^h-1}{m-1}$

性质 4 ：具有 n 个节点的 m 叉树的最小高度为 $\lceil lo{g}_m(n\ast (m-1)+1)\rceil$ (对数意义）

高度最小，则每个节点的度都为 m，即每层都有最多节点。由性质 3 得：$n=\frac{m^h-1}{m-1}$，整理可得：$m^h-1=n\ast (m-1)⟹h=lo{g}_m(n\ast (m-1)+1)$。
由于多余节点也是一层，所以需要向上取整，所以 $h=\lceil lo{g}_m(n\ast (m-1)+1)\rceil$

性质 5 ：满m叉树节点编号为 i 的第 k 个孩子节点编号为$(i-1)\ast m+k+1（1\le k\le m)$

设节点 i 为该 m 叉树的第 h 层（h=1，2，3…)，
则前 h-1 层层共有$N_1=\frac{m^{h-1}-1}{m-1}$（树的基本性质3）个节点，
则 前 h 层共有$N_2=\frac{m^h-1}{m-1}$（树的基本性质3）个节点，
显然，i 为第 h 层的第 $i-N_1$个节点，
$⟹$ i 有$i-N_1-1$个左兄弟，
$⟹$节点 i 的第一个孩子 j 有$(i-N_1-1)\ast m$个左兄弟，
$⟹$节点 i 的第一个孩子 j 在第 h+1 层的次序为$(i-N_1-1)\ast m+1$，
$⟹$节点 i 的第一个孩子 j 在树中的编号为$N_2+(i-N_1-1)\ast m+1$
$$\{\begin{array}{l}{N}_2=\frac{m^h-1}{m-1}\\ j=N_2+(i-N_1-1)\ast m+1\end{array}$$

$⟹节点i的第一个孩子j=(i-1)\ast m+2$。
又 树为m叉树，
$⟹节点i的最后一个孩子j=(i-1)\ast m+2+m-1=(i-1)\ast m+m+1$
$⟹$ 编号为 i 的节点的孩子节点编号$(i-1)\ast m+k+1（1\le k\le m)$

性质 6 ：满m叉树孩子节点编号为 j 的双亲节点编号$i=\lfloor (j-2)/m\rfloor +1$

由树的基本性质5，节点 i 的第一个孩子 $j=(i-1)\ast m+2$
$⟹i=\lfloor (j-2)/m\rfloor +1$

2 二叉树的基本性质

性质 1 ：非空二叉树的叶子节点数等于度为 2 的节点数加1 ，即$n_0=n_2+1$

设度为0、1、2的节点个数为$n_0,n_1,n_2$，则节点总数$n=n_0+n_1+n_2$。
设B为分支总数，则 $n=B+1$，由于这些分支是度为1和度为2的节点射出的，所以$B=n_1+2n_2$
$$\{\begin{array}{l}n=n_0+n_1+n_2\\ n=B+1\\ B=n_1+2n_2\end{array}$$
$⟹n_0=n_2+1$

性质 2 ：非空二叉树第 k 层至多有$2^{k-1}$个节点（$k\ge 1$)

由树的基本性质2，取树的度m=2

性质 3 ：高度为 h 的二叉树至多有 $2^h-1$个节点（$h\ge 1$)

由树的基本性质3，取树的度m=2

性质 4 ：完全二叉树的性质（完全二叉树的定义）

1. $i>1$时，节点 $i$ 的双亲编号为$\lfloor i/2\rfloor$。即：
   若 $i$ 为偶数，双亲编号为$i/2$ ；
   若 $i$ 为奇数，双亲编号为$(i-1)/2$ 。
2. $2i\le n$时，节点 $i$ 的左孩子编号为 $2i$ ，否则无左孩子
3. $2i+1\le n$时，节点 $i$ 的右孩子编号为 $2i+1$ ，否则无右孩子
4. 节点 $i$ 的层次深度为$\lfloor lo{g}_{2}i\rfloor +1$（证明：下述性质5）

性质 5 ：具有n个节点的完全二叉树的高度为$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1$或$\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$

证明1：

由二叉树性质3和完全二叉树的定义有
$$2^{h-1}-1<n\le 2^h-1或2^{h-1}\le n<2^h$$
解得：$h=\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1或h=\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$

证明2：

由二叉树性质3得，$n=2^h-1（h\ge 1)$

$⟹n+1=2^h⟹h=lo{g}_2(n+1)⟹h=\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$

---

对数

对数是由数学家约翰·纳皮尔（1550-1617）发明。在中学数学中，我们先是学习了指数，比如$2^3=8$。然后，我们才学习了指数的逆运算——对数，比如求出2的多少次方才会等于8，我们可以用对数来表示这个数，即$lo{g}_2(8)$，其结果就是$lo{g}_2(8)=3$。我们用更一般的表达式来表示指数函数$y=a^x$，写成对数形式$x=lo{g}_a(y)$（这里需要满足a>0，且a≠1）。因此，指数和对数互为逆运算。

然而，在历史上，对数函数其实先出现，后来才出现指数函数。这是因为对数发明的初衷并不是用于求解指数的幂，而是用于求解多个数的连乘之积。当时，随着科学技术的发展，人们在计算过程中所用到的数字随之越来越大。由于没有计算器的帮助，想要算出几个很大数字的乘积，往往需要耗费大量的时间。对数的出现大大减少了计算乘积所需的工作量，这得益于对数的独特性质：$lo{g}_a(bc)=lo{g}_a(b)+lo{g}_a(c)，lo{g}_a(b)=lo{g}_c(b)/lo{g}_c(a)，lo{g}_a(b^c)=clo{g}_a(b)$等等。只要通过查对数表，就能很快计算出一些较为繁琐的运算。例如，我们想要计算567.89和3141.59的乘积。假设：

$x=567.89\times 3141.59$

两边同时取以10为底的对数，得到：

$lo{g}_{10}(x)=lo{g}_{10}(567.89\times 3141.59)=lo{g}_{10}(567.89)+lo{g}_{10}(3141.59)$

$lo{g}_{10}(x)=lo{g}_{10}(10^2\times 5.6789)+lo{g}_{10}(10^3\times 3.14159)$

$lo{g}_{10}(x)=2+lo{g}_{10}(5.6789)+3+lo{g}_{10}(3.14159)=5+lo{g}_{10}(5.6789)+lo{g}_{10}(3.14159)$

其中$lo{g}_{10}(5.6789)$和$lo{g}_{10}(3.14159)$可以在对数表中查出，把它们相加之后，再查反对数就能得到最终结果。在没有电子计算器的时代，通过对数计算一些繁琐的运算可以大大减轻计算量。

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。