1. 反对称二阶张量的概念

定义 若仿射量 $\mathbf{\Omega }$ 满足：
$${\mathbf{\Omega }}^T=-\mathbf{\Omega }$$
则称仿射量 $\mathbf{\Omega }$为反对称二阶张量（反称仿射量）。

2. 反对称二阶张量的主不变量

由于张量的主不变量不随坐标系的改变而改变，另外在笛卡尔坐标系中反对称张量$\mathbf{\Omega }$的矩阵为反对称矩阵，记作：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& {\Omega }_1& {\Omega }_2\\ & & \\ -{\Omega }_1& 0& {\Omega }_3\\ & & \\ -{\Omega }_2& -{\Omega }_3& 0\end{array}\right]$$
那么，
$$\{\begin{array}{l}{\mathcal{C}}_1^{\Omega }=0\\ \\ {\mathcal{C}}_2^{\Omega }={\Omega }_1^2+{\Omega }_2^2+{\Omega }_3^2\triangleq {\phi }^2>0\\ \\ {\mathcal{C}}_3^{\Omega }=0\times (0+{\Omega }_3^2)-(-{\Omega }_1)\times (0+{\Omega }_3{\Omega }_2)+(-{\Omega }_2)\times ({\Omega }_1{\Omega }_3-0)=0\end{array}$$

3. 反对称二阶张量的特征值与特征向量

反对称二阶张量$\mathbf{\Omega }$的特征方程为：
$${\lambda }^3-{\mathcal{C}}_1^{\Omega }{\lambda }^2+{\mathcal{C}}_2^{\Omega }\lambda -{\mathcal{C}}_3^{\Omega }=({\lambda }^2+{\phi }^2)\lambda =0$$
因此，反对称二阶张量的特征值为:
$${\lambda }_1=i\phi 、{\lambda }_2=-i\phi 、{\lambda }_3=0$$
故，反对称张量的特征值由零与一对共轭纯虚数构成，虚部为反称仿射量第二主不变量的算术平方根。 又
$$\begin{gathered} ({\lambda }_1{\vec{u}}_1)\bullet {\vec{u}}_3=\Omega \bullet {\vec{u}}_1\bullet {\vec{u}}_3=-{\vec{u}}_1\bullet \Omega \bullet {\vec{u}}_3=-{\lambda }_3{\vec{u}}_1\bullet {\vec{u}}_3⟹({\lambda }_1+{\lambda }_3){\vec{u}}_1\bullet {\vec{u}}_3=0⟹{\vec{u}}_1\bullet {\vec{u}}_3=0 \\ ({\lambda }_2{\vec{u}}_2)\bullet {\vec{u}}_3=\Omega \bullet {\vec{u}}_2\bullet {\vec{u}}_3=-{\vec{u}}_2\bullet \Omega \bullet {\vec{u}}_3=-{\lambda }_3{\vec{u}}_2\bullet {\vec{u}}_3⟹({\lambda }_2+{\lambda }_3){\vec{u}}_2\bullet {\vec{u}}_3=0⟹{\vec{u}}_2\bullet {\vec{u}}_3=0 \end{gathered}$$
则，反对称二阶张量的实特征向量与共轭的复特征向量分别正交，即$${\vec{u}}_3\bullet {\vec{u}}_1={\vec{u}}_3\bullet {\vec{u}}_2=0$$
定义 将实特征值 ${\lambda }_3$ 特征方向${\vec{u}}_3$上的单位矢量${\vec{e}}_3$ 称作 反对称张量$\Omega$的轴。由于$$\Omega \bullet {\vec{u}}_3=0⟹\Omega \bullet {\vec{e}}_3=\Omega \bullet \frac{{\vec{u}}_3}{|{\vec{u}}_3|}=0$$故，反对称张量将其轴方向上的任何向量映射为零向量。

4. 反对称二阶张量的标准形

• 若以反对称张量的三个线性无关的特征向量为基，则有：
  $$\mathbf{\Omega }=(i\phi ){\vec{u}}_1{\vec{u}}^1-(i\phi ){\vec{u}}_2{\vec{u}}^2$$
• 若按照一般的处理方式由复数对角标准形得到实数标准形，取
  $$\{\begin{array}{l}{\vec{g}}_1={\vec{u}}_1+{\vec{u}}_2\\ \\ {\vec{g}}_2=i({\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2)\\ \\ {\vec{g}}_3=e_3\end{array}$$
  则有：
  $$\mathbf{\Omega }=-\phi {\vec{g}}_1{\vec{g}}^2+\phi {\vec{g}}_2{\vec{g}}^1$$
  值得注意的是，反对称张量实数化标准形所参考的基 { g ⃗ 1 、 g ⃗ 2 、 g ⃗ 3 } \{\vec{g}_1、\vec{g}_2、\vec{g}_3\} {g ​1​、g ​2​、g ​3​}具有正交性，因为根据反对称张量实特征向量与复特征向量之间的正交性知：
  $$\begin{gathered} {\vec{g}}_3\bullet {\vec{g}}_1=\frac{{\vec{u}}_3}{|{\vec{u}}_3|}\bullet ({\vec{u}}_1+{\vec{u}}_2)=0(a) \\ {\vec{g}}_3\bullet {\vec{g}}_2=i\frac{{\vec{u}}_3}{|{\vec{u}}_3|}\bullet ({\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2)=0(b) \end{gathered}$$
  此外，由于对于任意向量$\vec{x}$，向量 $\mathbf{\Omega }\bullet \vec{x}$ 或 $\vec{x}\bullet \mathbf{\Omega }$均与其正交，即$$\vec{x}\bullet \mathbf{\Omega }\bullet \vec{x}=x^i{\Omega }_{ij}{x}^j=x^j{\Omega }_{ji}{x}^i=-x^j{\Omega }_{ij}{x}^i⟹x^i{\Omega }_{ij}{x}^j=\vec{x}\bullet \mathbf{\Omega }\bullet \vec{x}=0$$
  那么：
  $${\vec{g}}_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_1={\vec{g}}_1\bullet (-\phi {\vec{g}}_1{\vec{g}}^2+\phi {\vec{g}}_2{\vec{g}}^1)\bullet {\vec{g}}_1=\phi {\vec{g}}_1\bullet {\vec{g}}_2=0⟹{\vec{g}}_1\bullet {\vec{g}}_2=0(c)$$
  另外,
  $$\begin{gathered} {\vec{g}}_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_2=-\phi {\vec{g}}_1\bullet {\vec{g}}_1 \\ {\vec{g}}_2\bullet \mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_1=\phi {\vec{g}}_2\bullet {\vec{g}}_2 \\ {\vec{g}}_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_2=(\mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_2)\bullet {\vec{g}}_1=-{\vec{g}}_2\bullet \mathbf{\Omega }\bullet {\vec{g}}_1 \end{gathered}$$
  这说明：
  $$|{\vec{g}}_1|=|{\vec{g}}_2|(d)$$
• 实际上，在标准正交基 { e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 } \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\} {e 1​,e 2​,e 3​}（${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$为${\vec{g}}_1$、${\vec{g}}_2$所张成平面内的任意相互正交的两个单位向量）反对称二阶张量$\mathbf{\Omega }$均可展开为：$$\mathbf{\Omega }=-\phi {\vec{e}}_1{\vec{e}}_2+\phi {\vec{e}}_2{\vec{e}}_1$$下面进行相关说明：
  

在垂直于${\vec{e}}_3$的平面内任意选择两互相正交的单位矢量 ${\vec{e}}_1$、${\vec{e}}_2$，并以${\vec{e}}_1$、${\vec{e}}_2$、${\vec{e}}_3$为一组新基，那么逆变转换系数为：$$[{\beta }_j^{i^{\prime }}]=\left[\begin{array}{ccc}|{\vec{g}}_1|cos\alpha & -|{\vec{g}}_2|sin\alpha & 0\\ & & \\ |{\vec{g}}_1|sin\alpha & |{\vec{g}}_2|cos\alpha & 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$协变转换系数矩阵：$$[{\beta }_{i^{\prime }}^j]=[{\beta }_j^{i^{\prime }}{]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{|{\vec{g}}_2|cos\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& \frac{|{\vec{g}}_2|sin\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& 0\\ & & \\ \frac{-|{\vec{g}}_1|sin\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& \frac{|{\vec{g}}_1|cos\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$那么根据坐标转换关系，在新基中反对称张量的分量为：$$[{\Omega }_{\bullet n^{\prime }}^{m^{\prime }}]=\left[\begin{array}{ccc}|{\vec{g}}_1|cos\alpha & -|{\vec{g}}_2|sin\alpha & 0\\ & & \\ |{\vec{g}}_1|sin\alpha & |{\vec{g}}_2|cos\alpha & 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -\phi & 0\\ & & \\ \phi & 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{|{\vec{g}}_2|cos\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& \frac{|{\vec{g}}_2|sin\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& 0\\ & & \\ \frac{-|{\vec{g}}_1|sin\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& \frac{|{\vec{g}}_1|cos\alpha }{|{\vec{g}}_1||{\vec{g}}_2|}& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -\phi & 0\\ & & \\ \phi & 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$可见，在所选的新标准正交基 { e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 } \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\} {e 1​,e 2​,e 3​}中各分量与原来的正交基 { g ⃗ 1 , g ⃗ 2 , g ⃗ 3 } \{\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3\} {g ​1​,g ​2​,g ​3​}中相同。（证毕）

4. 反偶矢量

定义
$$\vec{\omega }=-\frac{1}{2}ϵ:\mathbf{\Omega }=-\frac{1}{2}\mathbf{\Omega }:ϵ$$
称 $\vec{\omega }$ 为反对称二阶张量 $\mathbf{\Omega }$ 的反偶矢量，或 $-\vec{\omega }$与 $\mathbf{\Omega }$ 互为对偶。

按照定义：$$\vec{\omega }=-\frac{1}{2}ϵ:(-\phi {\vec{e}}_1{\vec{e}}_2+\phi {\vec{e}}_2{\vec{e}}_1)=\frac{1}{2}\phi ({\vec{e}}_1\times {\vec{e}}_2-{\vec{e}}_2\times {\vec{e}}_1)=\phi {\vec{e}}_3$$说明，对偶矢量沿反对称张量的轴向，大小为 $\phi =\sqrt{{\mathcal{C}}_2^{\Omega }}$。

另外反对称张量可由其对偶矢量得到，证明如下：$${\omega }_k{\vec{g}}^k=-\frac{1}{2}ϵ:{\Omega }^{ij}{\vec{g}}_i{\vec{g}}_j=-\frac{1}{2}({\vec{g}}_i\times {\vec{g}}_j){\Omega }^{ij}=-\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{\Omega }^{ij}{\vec{g}}^k$$则$$-ϵ\bullet \vec{\omega }={ϵ}^{pql}{\vec{g}}_p{\vec{g}}_q{\vec{g}}_l\bullet \frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{\Omega }^{ij}{\vec{g}}^k=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijl}{ϵ}^{pql}{\Omega }^{ij}{\vec{g}}_p{\vec{g}}_q=\frac{1}{2}({\delta }_i^p{\delta }_j^q-{\delta }_j^p{\delta }_i^q){\Omega }^{ij}{\vec{g}}_p{\vec{g}}_q=\frac{1}{2}(\mathbf{\Omega }-{\mathbf{\Omega }}^T)=\mathbf{\Omega }$$这意味着反对称张量只用给出其反偶矢量便可得到其所有的信息。

5. 反对称二阶张量对应的线性变换

由于$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\Omega }\bullet \vec{u}=(-ϵ\bullet \vec{\omega })\bullet \vec{u}=-ϵ:(\vec{u}\vec{\omega })=-\vec{u}\times \vec{\omega }=\vec{\omega }\times \vec{u}\\ & \\ & \vec{u}\bullet \mathbf{\Omega }=\vec{u}\bullet (-ϵ\bullet \vec{\omega })=-u^i{ϵ}_{ijk}{w}^k{\vec{g}}^j=u^i{w}^k{ϵ}_{ikj}{\vec{g}}^j=\vec{u}\times \vec{\omega }\end{array}$$这说明反对称张量将任意向量 $\vec{u}$ 映射为其对偶矢量与该向量的叉积。另外从几何上对反对称二阶张量定义的线性变换进行说明：

对于任意向量 $\vec{u}=u_1{\vec{e}}_1+u_2{\vec{e}}_2+u_3{\vec{e}}_3$ 有：
$$\begin{gathered} \mathbf{\Omega }=-\phi {\vec{e}}_1{\vec{e}}_2+\phi {\vec{e}}_2{\vec{e}}_1 \\ \mathbf{\Omega }\bullet \vec{u}=\phi (u_1{\vec{e}}_2-u_2{\vec{e}}_1) \\ \vec{u}\bullet \mathbf{\Omega }=\phi (-u_1{\vec{e}}_2+u_2{\vec{e}}_1) \end{gathered}$$
如图所示：

这意味着，

$\mathbf{\Omega }\bullet \vec{u}$：将1-2面内的 $\vec{u}$ 分量绕轴按右手系旋转$90°$并放大 $\phi =\sqrt{{\mathcal{C}}_2^{\Omega }}$ 倍，舍弃面外分量；

$\vec{u}\bullet \mathbf{\Omega }$：将1-2面内的 $\vec{u}$ 分量绕轴按左手系旋转$90°$并放大 $\phi$ 倍，舍弃面外分量；

上述关于二阶反对称张量线性变换的讨论也从几何上说明了 $\vec{u}\bullet \mathbf{\Omega }\bullet \vec{u}=0$。