C语言笔记 | 一元三次方程

在 1545 年，意大利学者卡丹所写的《关于代数的大法》中，提出了一元三次方程的求根公式。人们将其称为卡丹公式。对于标准型的一元三次方程 ax+bx+cx+d=0 （其中 a、b、c、d 属于实数且 a 不等于 0），可以通过变量代换将其转化为 x³+px+q=0 的形式，从而求出其根。

尼泊罗河伯

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尼泊罗河伯 · 2023-04-13 11:16:32 发布

文章目录

0x00 前言

0x06 总结

0x00 前言

在 1545 年，意大利学者卡丹所写的《关于代数的大法》中，提出了一元三次方程的求根公式。人们将其称为卡丹公式。对于标准型的一元三次方程 ax+bx+cx+d=0 （其中 a、b、c、d 属于实数且 a 不等于 0），可以通过变量代换将其转化为 x³+px+q=0 的形式，从而求出其根。

0x01 问题分析

一元三次方程的一般形式：

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\neq 0)$

一元三次方程只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 3 次的整式方程。其中，a，b，c，d 为常数， x 为未知数，且 a≠0 。方程的公式解法为卡尔丹公式法。

0x02 代码设计

#include <stdio.h>
#include <math.h>

代码解析：先使用 #include 引入需要使用到的头文件，例如 C 框架中的标准输入输出库 <stdio.h> 以及需要使用 <math.h> 数学库计算一元三次方程的解。

double cubeRoot(double x) 
{
    return (x > 0) ? pow(x, 1.0/3) : -pow(-x, 1.0/3);
}

代码解析：事先定义一个函数，主要用来计算一个数的立方根，如果 x 大于 0 时，返回 x 的立方根，否则返回 -x 的立方根。这里用三目运算符对 x 的结果进行单独运算，防止与后面的算法混淆。

        float a, b, c, d, x1, x2, x3, P, Q;
        printf("请输入四个系数：");

代码解析：定义 float 单精度类型的变量 a、b 、c 、d 表示一元三次方程的四个系数。 x1、x2、x3 用来存储三个根的解。 P 和 Q 用于后续求解过程的步骤简化。

        while (scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0) 
        {
            printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); 
            while (getchar() != '\n') 
                continue;
        }

代码解析：使用 while 循环语句判断用户输入的数值是否是四个数，并且判断 a 是否等于 0 。如果用户输入的数值不是四个数或者 a 为零，那么则进入循环。如果进入循环中，那么会提示 “错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！” 并且执行 while 循环语句清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

    	if (getchar() != '\n') 
    	{
        	while (getchar() != '\n') 
            	continue;
        	printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n");
			continue; 
   		}

代码解析：使用 if 语句判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符号），那么执行 if 语句中的内容。其中， while 循环和上文中的代码一样是清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

        P=(3*a*c-b*b)/(3*a*a);
        Q=(27*a*a*d-9*a*b*c+2*b*b*b)/(27*a*a*a);

        float s2 = cubeRoot(-Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
        float s3 = cubeRoot(-Q/2 - sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));

        x1 = -b/(3*a) + s2 + s3;
        x2 = -b/(3*a) + -0.5*(s2 + s3);
        x3 = sqrt(3)/2 * (s2 - s3);

代码解析：其中， P 和 Q 的值是根据一元三次方程的公式中推导得出，关于 P 和 Q 的值取决于用户输入一元三次方程的四个系数值。 s2 和 s3 调用了 cubeRoot 函数计算立方根，这两个公式根据卡尔丹公式 x³+px+q=0 计算两个两个公式的立方根。最后使用 x1 计算一元三次方程的实数解，使用 x2 和 x3 计算两个复数解。

    	if (x1 == x2 && x2 == x3)
		{
        	printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %f\n", x1);
    	}
        else
        {
            printf("方程的解为x1 = %f, x2 = %f%+f*i, x3 = %f%+f*i\n", x1, x2,x3, x2,x3);
        }

代码解析：判断如果 x1 等于 x2 并且 x2 等于 x3 ，说明三个根相等，那么直接打印 x1 实根的计算结果。否则输出 x1 ， x2 ， x3 的计算结果。

int main()
{
    U_cubic_E();
    return 0;
}

代码解析：主函数，调用 U_cubic_E(); 函数用来求解一元三次方程，返回值为 0 时，表示程序执行完毕。

0x03 完整代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double cubeRoot(double x) // 定义一个函数来计算立方根
{
    return (x > 0) ? pow(x, 1.0/3) : -pow(-x, 1.0/3); // 如果x大于0，返回x的立方根，否则返回-x的立方根
}

void U_cubic_E() // 一元三次方程
{
    float a, b, c, d, x1, x2, x3, P, Q;
    printf("请输入四个系数：");

    while (scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0)  // 如果输入不是四个数或者a为0，则进入循环 
    {
        printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); // 提示用户输入错误
        while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符
            continue;
    } 

    if (getchar() != '\n') // 判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符）
    {
        while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符
            continue;
        printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n"); // 提示用户输入多余字符，并清除
    }

    P=(3*a*c-b*b)/(3*a*a);
    Q=(27*a*a*d-9*a*b*c+2*b*b*b)/(27*a*a*a);

    float s2 = cubeRoot(-Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
    float s3 = cubeRoot(-Q/2 - sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));

    x1 = -b/(3*a) + s2 + s3;
    x2 = -b/(3*a) + -0.5*(s2 + s3);
    x3 = sqrt(3)/2 * (s2 - s3);
	
	if (x1 == x2 && x2 == x3)
	{
		printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %f\n", x1);
	}
	else
	{
		printf("方程的解为：x1 = %f, x2 = %f%+f*i, x3 = %f%+f*i\n", x1, x2,x3, x2,x3);
	}
}

int main()
{
    U_cubic_E(); // 调用一元三次方程函数
    return 0;
}

0x04 运行效果

请输入四个系数：0 1 2 3
错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！
20 23 11 28 14 10
警告：您输入了多余的字符，已被清除！
方程的解为：x1 = -1.441917, x2 = 0.145958+0.974489*i, x3 = 0.145958+0.974489*i

--------------------------------
Process exited after 12.56 seconds with return value 0
请按任意键继续. . .

0x05 参考文献

[1].百度百科. 一元三次方程[EB/OL]. [2023-04-12]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B?fromModule=lemma_search-box.

[2].百度百科. 一元三次方程求根公式[EB/OL]. [2023-04-12]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/10721952.