参考文献：

1. Brakerski Z, Vaikuntanathan V. Efficient fully homomorphic encryption from (standard) LWE[J]. SIAM Journal on computing, 2014, 43(2): 831-871.
2. Brakerski Z, Gentry C, Vaikuntanathan V. (Leveled) fully homomorphic encryption without bootstrapping[J]. ACM Transactions on Computation Theory (TOCT), 2014, 6(3): 1-36.
3. Peikert C. A decade of lattice cryptography[J]. Foundations and trends® in theoretical computer science, 2016, 10(4): 283-424.

基础知识

快速数论变换 NTT，在文章 深入理解NTT 中介绍。BGV 方案中，使用多项式环 $R=\mathbb{Z}[x]/(f(x))$，其中 $f(x)=x^d+1$ 是分圆多项式， $d=2^k$ 是二的幂次。环 $R$ 包含所有次数小于 $d$ 的整系数多项式。然后，选取它的一个主理想 $I=(q(x))$，满足它的指数 $[R:I]=p$ 是个素数，即环 $R$ 是 $p$ 个陪集 $a_i+I,a_i\in R$ 的不交并。做商环：
$$R_q=R/I=R=\mathbb{Z}[x]/(q(x),f(x))$$

最简单的，可令 $q(x)=p$ 是个素数，那么 $R_q={\mathbb{Z}}_p[x]/(f(x))$

假如 $p\equiv 1\mathrm{mod}2d$，那么在 $R_p$ 上多项式 $f(x)$ 可以完全分解为线性的互素因式，
$$f(x)=x^d+1=\prod _{i=1}^d(x-{\xi }_i)$$

从而根据 CRT，令 $P_i=(x-{\xi }_i,p)$ 为彼此互素的理想，有：
$$R_p\cong \mathbb{Z}[x]/P_1\times \cdots \mathbb{Z}[x]/P_d$$

简记 $\mathbb{Z}[x]/P_i=R_{P_i}$

LWE 和 RLWE 问题，在文章 格上困难问题 中介绍。为了方便方案的描述，BGV 不想对两种格困难问题分别构造方案，因此定义了 General Learning with Errors (GLWE) Problem：

其中的噪声分布（一般取做离散高斯分布） $\chi$ 是 B-bounded distributions，定义如下：

格上的陷门，在文章 格密码：陷门OWF 中介绍。在 BGV 中对 Gadget 的描述为：
$$G:=I_n\otimes g=\left[\begin{array}{cccc}g& 0& \cdots & \\ 0& g& 0& \\ ⋮& 0& \ddots & ⋮\\ & & ...& g\end{array}\right]\in {\mathbb{Z}}_q^{n\times nl}$$

其中 $q$ 是素数，$l=\lceil \log q\rceil$，$g=[1,2,4,\cdots ,2^l]$

1. $\vec{x}=G\vec{u}$：将向量 $\vec{u}\in R_2^{nl}$ 分成$n$块，每个长为$l$的 block 做二进制合成，得到向量 $\vec{x}\in R_q^n$
2. $\vec{u}=G^{-1}(x)$：将向量 $\vec{x}\in R_q^n$ 的每个分量都做二进制分解，得到向量 $\vec{u}\in R_2^{nl}$

BGV

Basic Encryption Scheme

BGV 方案基于 BV 方案（在文章 全同态加密(FHE) 中介绍）。在 BGV 中，首先表述了基于 GLWE 的 BV 方案：

1. $E.Setup(1^{\lambda },1^{\mu },b)$：

   • 如果$b=0$，那么设置$d=1$（LWE），如果$b=1$，那么设置$n=1$（RLWE）。甚至，可以设置这两个极端之间的参数？
   • 选取$\mu$比特的素数模$q$，设置 $d=d(\lambda ,\mu ,b)$，$n=n(\lambda ,\mu ,b)$，$N=\lceil (2n+1)\log q\rceil$，$\chi =\chi (\lambda ,\mu ,b)$，使得 GLWE 实例的强度为$2^{\lambda }$
   • 令 $R=\mathbb{Z}[x]/(x^d+1)$，明文空间为$R_p$，其中$p\ll q$是素数（例如$p=2$），密文空间为$R_q^{n+1}$
   • 设置 $params=(R,p,q,d,n,N,\chi )$

2. $E.SecretKeyGen(params)$：

   • 采样 $s^{\prime }\leftarrow {\chi }^n$，设置 $sk=s=(1,s)\in R_q^{n+1}$

3. $E.PublicKeyGen(params,sk)$：

   • 生成均匀随机矩阵 $A^{\prime }\leftarrow U(R_q^{N\times n})$，采样 $e\leftarrow {\chi }^N$
   • 计算 $b=A^{\prime }{s}^{\prime }+pe$，使得噪音 $pe$ 属于理想$(p)$
   • 设置 $pk=A=(b,-A^{\prime })\in R_q^{N\times (n+1)}$，易知$As=pe\equiv 0\mathrm{mod}(p)$

4. $E.Enc(params,pk,m)$：

   • 给定明文 $m\in R_p$，设置行向量 $\vec{m}=(m,0,\cdots ,0)\in R_q^{n+1}$

   • 采样行向量 $r\leftarrow R_p^N$，输出密文
     $$c=\vec{m}+rA\in R_q^{n+1}$$

5. $E.Dec(params,sk,c)$：

   • 给定密文 $c\in R_q^{n+1}$，输出明文
     $$m=[[<c,s>{]}_q{]}_p\in R_p$$

     其中 $[\cdot {]}_q$ 表示模$q$的余数，范围$(-q/2,q/2]$

在 BGV 中 $m\equiv [<c,s>{]}_q\mathrm{mod}p$，可将 $[<c,s>{]}_q\in R_q$ 视为由明文 $m$ 编码的噪声。

Homomorphic Operations

矩阵$A\in R^{m\times n},B\in R^{p\times q}$的 Kronecker product 定义为：
$$A\otimes B={\left[A_{ij}\cdot B\right]}_{ij}\in R^{mp\times nq}$$

1. 克罗内克积是结合的，但不是交换的
2. 克罗内克积与矩阵加法间，满足左右分配律
3. $(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T$，$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$，注意对比 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$、$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$、$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$（穿脱原理）
4. $(X\otimes Y)(U\otimes V)=(XU)\otimes (YV)$
5. 对于 $A\in R^{m\times m},B\in R^{n\times n}$，有 $det(A\otimes B)=det(A{)}^n\cdot det(B{)}^m$
6. $rank(A\otimes B)=rank(A)\cdot rank(B)$

根据上述性质，易知
$$\begin{array}{rl}<c_1\otimes c_2,s_1\otimes s_2>& =(c_1\otimes c_2{)}^T(s_1\otimes s_2)\\ & =(c_1^T\otimes c_2^T)(s_1\otimes s_2)\\ & =(c_1^T{s}_1)\otimes (c_2^T{s}_2)\\ & =<c_1,s_1>\cdot <c_2,s_2>\end{array}$$

因此，

1. 同态加法：$Dec(c_1+c_2,s)=Dec(c_1,s)+Dec(c_2,s)$
2. 同态乘法：$Dec(c_1\otimes c_2,s\otimes s)=Dec(c_1,s)\cdot Dec(c_2,s)$

然而，上述的同态乘法有很大的缺陷：密文和私钥的规模指数级增大，噪声指数级增大。

Key Switching

密钥切换技术，用于降低密文和密钥的维度。

BGV 将 Gadget 视为二进制合并和分解，

有$BitDecomp(c)=G^{-1}(c),Powersof(s)=s^{T}G$，易知：
$$\begin{array}{rl}& <BitDecomp(c,q),Powersof(s,q)>\\ & =\sum _{j=0}^{l-1}<u_j,2^{j}s>\\ & =<c,s>\\ & =s^{T}G\cdot G^{-1}(c)\end{array}$$

密钥切换的程序为：

可以理解为：寻找$s_2^{T}K=s_1^{T}G$的$K$，设置$c_2=K\cdot G^{-1}(c_1)$，于是$s_2^T{c}_2=(s_1^{T}G)\cdot G^{-1}(c_1)=s_1^T{c}_1$。不考虑二进制分解/合成技术（仅用于控制噪声项大小），由于密文矩阵 $B=En{c}_{s_2}(s_1)$，所以有 $B{s}_2=s_1$，那么同态数乘 $c_2=c_{1}B$（以 $c_1$ 为标量）就是同态解密 $c_2=En{c}_{s_2}(c_1{s}_1)$，它满足 $De{c}_{s_2}(c_2)=c_2{s}_2=(c_{1}B)s_2=c_1{s}_1(\mathrm{mod}q)$。

Modulus Switching

模切换技术，用于降低噪声的绝对大小（相对大小略有上升）。

模切换技术并不能降低噪声比率（the ratio of the noise to the “noise ceiling” (the modulus size)），而噪声比率约束了密文的同态能力。似乎降低噪音绝对大小并不会提高同态能力。然而，对于乘法来说：

1. 噪声大小为$x$，假设 $q\approx x^k$，于是噪声比率为$x/q\approx x^{1-k}$
2. 选择 a ladder of gradually decreasing moduli { q i ≈ q x i } \{q_i \approx \dfrac{q}{x^i}\} {qi​≈xiq​}
3. 每次密文乘法，导致结果的噪声从$x^a$成为$x^{2a}$
4. 假设不做模切换，那么下一次乘法将会达到$x^4$的噪声，最多只能做$\log k$次乘法，噪声就会达到$x^k=q$，导致不可解密。
5. 如果每次都做模切换，第$j$次乘法后，从$q_{j-1}$切换到$q_j$上，同时噪声从$x^2$降低到$x$，比率为$x/q_j=x^{j-k}$，因此最多可以做$k$次乘法。

模切换的程序为：

(Leveled) FHE Based on GLWE without Bootstrapping

如果设置 Basic Encryption Scheme 的明文空间为$R_2$，那么 BGV 方案如下：

其同态运算为：

由于密钥切换和模切换，都是算术电路上计算的，因此它们比 Bootstrapping 的布尔电路计算要高效的多。 为了计算深度 $d$ 的算术电路，只要在初始化的时候设置 $L=d$ 即可。但随着 $L$ 增大，模数$q_L$的比特长度会线性增长，从而导致每个 Gate 的计算复杂度上升。对于很深的电路，我们可以重新引入 Bootstrapping 作为优化（而非必需）。

Optimizations

Batching

上述的 BGV 方案中，设置了 $p=2$，从而可以对商环 $R_2$ 上的明文做运算。

奇素数 $p\equiv 1\mathrm{mod}2d$，根据数论可以知道，
$$R_p\cong R_{P_1}\times \cdots \times R_{P_d}$$

其中$P_i=(p,x-{\xi }_i)$，且陪集 $0+P_i,\cdots ,(p-1)+P_i$ 恰好拼成整个环 $R=\mathbb{Z}[x]/(f(x))$，或者说 $I$作为加群的指数为 $[R:I]=p$（Emmmm, 怎么觉得不太对呢？奥，没问题）

上述的每个理想都是同构的，存在环 $R$ 的自同构（automorphism）${\sigma }_{i\to j}$，使得 ${\sigma }_{i\to j}(P_i)=P_j$，确切地说：
$${\sigma }_{i\to j}\left(\sum _{o=0}^{d-1}{r}_o{x}^o\in P_i\right)=\sum _{o=0}^{d-1}{r}_o{x}^{e_{ij}o\mathrm{mod}2d}\in P_j$$

其中 $1<e_{ij}<2d$ 是奇数（是多少？论文里没说啊！）。

结合文章 全同态加密：CKKS 中内容，应为 $e_{ij}=(2j+1{)}^{-1}\cdot (2i+1)\mathrm{mod}2d,\forall i,j=0,1,\cdots ,d-1$。因为 $d$ 是素数 $2$ 的幂次，所以 $\varphi (2d)=d$，因此有 ${\varphi }_{2d}(x)=x^d+1$。这个分圆多项式的 $d$ 个根就是 $2d$ 次本原单位根 ${\xi }_{2d}^k,\forall k\in {\mathbb{Z}}_{2d}^{\ast }$。易知， Z 2 d ∗ = { 1 , 3 , ⋯   , 2 d − 1 } Z_{2d}^* = \{1,3,\cdots,2d-1\} Z2d∗​={1,3,⋯,2d−1}，因此 $k$ 都是奇数，从而 $e_{ij}=k_1^{-1}\cdot k_2\mathrm{mod}2d\in {\mathbb{Z}}_{2d}^{\ast }$ 也是奇数，这里 $k_1=2j+1$，$k_2=2i+1$。此时，$f^{\prime }(x)={\sigma }_{i\to j}(f(x))=f(x^{e_{ij}})$ 满足：
$$f^{\prime }({\xi }_{2d}^{2j+1})={\sigma }_{i\to j}(f({\xi }_{2d}^{2j+1}))=f({\xi }_{2d}^{(2j+1)e_{ij}})=f({\xi }_{2d}^{2i+1})$$

于是，我们可以将一个密文上划分出 $d$（或者 $d$ 的因子，类似不完全NTT）个明文槽（plaintext slots），第 $i$ 个明文的取值范围是理想 $P_i$ 对应的商环 $R_{P_i}$

我们使用 RLWE 版本的 BGV 方案，

1. 设置 $n=1$，令 $d=2^k$是二的幂次，选取奇素数 $p\equiv 1\mathrm{mod}2d$
2. 在 $E.PublicKeyGen()$ 中，设置 $As=pe$
3. 在 $E.Dec()$ 中，设置 $m=[[<c,s>{]}_q{]}_p$
4. 在 $Scale()$ 中，设置 $r=p$
5. 同态运算都是在 mod-p gates 的电路上的

注意，这里的 $p=O(poly(\lambda ))$，此时同态运算的额外的噪声是多项式的。对于超多项式的 $p$ ，噪音增长严重，从而无法使用。

使用 Batching 技术，计算一个密文的同态运算，就达到了 $d$ 个明文的运算，因此效率几乎（因为模数 $q(x)$ 从$2$增大到了$p$，算术运算会慢一些）提高了 $d$ 倍。

Bootstrapping as an Optimization

自举的优点为：

1. Performance：$L$ 不必设置的和电路深度一样大，于是每个门的计算复杂度独立于电路深度，计算效率高。
2. Flexibility：假设循环安全，那么自举将导致无限深度的电路，而不必预设电路深度上界，更加灵活。
3. Memory：可以把原始数据的密文用 AES 存储，占内存很小。当需要计算时，用 Bootstrapping 执行解密电路，解压（de-compressed）为长密文，再执行同态运算。解压的长密文没法重新变回 AES 短密文。

对于 LWE 版本的 BGV，解密函数为：$m=[[<c,s>{]}_q{]}_2$，可以用 $R_2={\mathbb{Z}}_2$ 上的算术电路来计算它：

1. 内积中的对应分量两两乘积，由于 $c[i]$ 有 $\log q$ 比特，因此 $c[i]\cdot s[i]$ 可以写成至多（比特 $0$ 的不必相加） $\log q$ 个 $s[i]$ 的左移的加和。一个 $s[i]$ 的左移，它的长度至多为 $2\log q$ 比特。

2. 一个内积有$n$个对应分量，共需要 $n\log q$ 个 $2\log q$ 比特数的加和。使用二叉树式的电路，深度为 $O(\log (n\log g))=O(\log n+\log \log q)$，逻辑门的数量为 $O(n\log q\cdot \log q)=O(n{\log }^{2}q)$

3. 然后，计算 $<c,s>\mathrm{mod}q$，除法可以转化为乘法，电路大小为 $O(poly\log (q))$，电路深度为 $O(\log \log q)$

4. 最后，计算 $(<c,s>\mathrm{mod}q)\mathrm{mod}2$，仅需要截取最低位比特。

5. 综上所述，Bootstrapping 的电路深度为：
   $$O(\log n+\log \log q)$$

   电路大小为：
   $$O(n{\log }^{2}q)$$

   代入安全参数 $n=O(\lambda )$ 和 $\log q=O(\log \lambda )$：电路大小为$\tilde{O}(\lambda )$，电路深度为$O(\log \lambda )$

对于 RLWE 版本的 BGV，解密函数中的向量长度为$2$，每个分量都是多项式环 ${\mathbb{Z}}_2[x]/(f(x))$ 上的乘积，可以使用 DFT 来计算。其 Bootstrapping 的电路规模与 LWE 版本的类似。

由于噪声增长的没那么快，因此我们可以 Bootstrapping Lazily，每 $L$ 层才自举一次，其他层都不执行自举程序。经最优化，得到：
$$L=\theta (\log \lambda )$$

Batching the Bootstrapping Operation

上述的 Batching 方案，每个明文槽都只能和对应的明文槽内的明文做运算。如果我们想让它们之间也可以交互计算怎么办呢？

思路是，

1. 规定普通密文仅使用第一个明文槽 $R_{P_1}$，其他的槽中都是 $0\in R_{P_i},i\ne 1$

2. 利用理想之间的环 $R$ 自同构映射${\sigma }_{i\to j}$，将各个槽里的明文进行搬移，
   $$m=[[<c,s>{]}_q{]}_{P_i}⟺m=[[<{\sigma }_{i\to j}(c),{\sigma }_{i\to j}(s)>{]}_q{]}_{P_j}$$

3. 选取 $u\in 1+P_1$，且 $u\in P_i,i\ne 1$，这用于将其他槽的内容清零。

实现 Pack 和 Unpack 函数，进行 normal homomorphic operation 和 batch operation 之间的转换：

只要上边的私钥链 $s_1,s_2,\cdots$ 是无环的，那么就可以避免 circular security problem，但需要存储的密钥切换映射 $\tau$ 就会多一些。如果我们假设它是循环安全的，那么就只需要存储一个私钥 $s$ 的那些映射即可。

利用上述的 Pack 和 Unpack，就可以对电路同一层的密文执行并行的 Bootstrapping。如果电路的宽度足够大（每一层的宽度为$O(\lambda )$），那么 Bootstrapping 的计算复杂度可以降低一个 $\log \lambda$ 因子。

其实上边的 Pack 和 Unpack 更重要的是：可以在明文需要串行计算时串行，可以并行计算时并行。从而加速单个算术电路的计算效率。否则，Batching 只能并行计算 $d$ 个相同电路的 copy，对于不同的明文输入。

Plaintext Spaces

上述的方案中，$R_q$上的 $q_j(x)$ 都选做了素数。如果我们想要在很大的明文空间${\mathbb{Z}}_p$上运算，那么$q_j$就不得不选取为安全参数$\lambda$的指数级。此时 $q_j/B$（$B$是噪声上界）是指数级的，导致 LWE 问题不难。

因此，我们不直接使用${\mathbb{Z}}_p$作为明文空间，而是使用同构的$R/I$，其中理想 $I$ 作为加群的指数为 $[R:I]=p$，同时获得理想$I$的一组短格基$B_I$（$\Vert B_I\Vert =O(poly(d)\cdot p^{1/d})$）。对于梯子“ladder”，我们选取多项式 $q_j\in R$，构造主理想 $(q_j)$，使它满足 $q_j\in 1+I$ 且 $\Vert q_{j+1}\Vert /\Vert q_j\Vert$ 大约为 $2^{\mu }$ 大小，令理想 $(q_j)$ 的 rotation basis 为：
B q j = { x i q j ( x ) m o d    f ( x ) } i = 0 d − 1 B_{q_j} = \{x^iq_j(x) \mod f(x)\}_{i=0}^{d-1} Bqj​​={xiqj​(x)modf(x)}i=0d−1​

从 $R_{q_{j+1}}$ 模切换到 $R_{q_j}$ 的算法为：

说实话，这一节博主我没怎么看懂 (╥﹏╥) ，

1. 最后一层 $\Vert q_0\Vert \approx 2^{\mu }$，噪音远小于$q_0$。那么每次 reflesh 都降低 $\mu$ 比特，是不是太奢侈了？
2. 理想 $I$ 怎么选取？除了 $(p)$ 外还能有其他理想的指数也是素数 $p$ 么？或者 $p$ 不是素数？
3. 怎么选的多项式 $q_j(x)$？$I$ 的生成元的某个倍数再加一？
4. 多项式范数 $\Vert q_j(x)\Vert$ 怎么定义的？是系数向量的无穷范数么？相邻多项式的范数之比是什么几何意义？

先写在这儿等以后回顾。